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本文内容整理自深度之眼《GNN核心能力培养计划》
公式输入请参考： 在线Latex公式
本周涉及到auto encoder，这个思想在CV和语音处理上都有应用，有想简单了解这块的，看我的笔记：
Deep Auto-encoder
More About Auto-Encoder
VAE看这里：Unsupervised Learning.05: Deep Generative Model (Part I)
本节主要讲VGAE:Variational Graph Auto-Encoders
Variational Graph Auto-Encoders相对于普通的Graph Auto-Encoders而言，相同之处在于大家都是数据经过Encoder，得到表征，然后经过Decoder，还原得到数据’（这里还原的是邻接矩阵），目标是使得数据和数据’越接近越好，是一种无监督的学习方式。Variational Graph Auto-Encoders则引入了更多的贝叶斯的东西来优化损失函数。
总共涉及三篇文章：
Variational Graph Auto-Encoders
Auto-Encoding Variational Bayes
Tutorial on Variational Autoencoders（比较详细）
当然还要参考之前GNN基础篇的深度之眼Paper带读笔记GNN.03.SDNE
下面来看Variational Graph Auto-Encoders这篇文章
Variational Graph Auto-Encoders
开篇文章就提出VGAE是a framework for unsupervised learning on graph-structured data based on the variational auto-encoder
模型还引入了隐变量来进行计算，如果理解不了就直接把这个计算得到的隐变量看做是AE结构里面中间的embedding表示。
模型使用均值和方差的采样结果（这个结果就是上面提到的隐变量）来代替常规AE模型中的中间表征。
this model using a graph convolutional network (GCN) [4] encoder and a simple inner product decoder.
模型的编码器用的GCN，解码器用的是点乘。
模型在非监督学习的图结构数据以及边预测（这个任务是）任务取得较好效果。
定义：无向无权图 G = ( V , E ) \mathcal{G}=(\mathcal{V,E}) G=(V,E)，节点数量 N = ∣ V ∣ N=|\mathcal{V}| N=∣V∣，图的邻接矩阵是 A A A，且里面包含节点本身的信息（相当于 A ′ = A + I A'=A+I A′=A+I），图的度矩阵是 D D D，引入的隐变量是 z i z_i zi，其矩阵形式是： Z Z Z，维度是 N × F N\times F N×F，节点特征是 X X X，维度是 N × D N\times D N×D
Inference model：
q
(
Z
∣
X
,
A
)
=
∏
i
=
1
N
q
(
z
i
∣
X
,
A
)
,
w
i
t
h
q
(
z
i
∣
X
,
A
)
=
N
(
z
i
∣
μ
i
,
d
i
a
g
(
σ
i
2
)
)
q(Z|X,A)=\prod_{i=1}^Nq(z_i|X,A),with\space q(z_i|X,A)=\mathcal{N}(z_i|\mu_i,diag(\sigma_i^2))
q(Z∣X,A)=i=1∏Nq(zi∣X,A),with q(zi∣X,A)=N(zi∣μi,diag(σi2))
上式中，是要最大所有节点的概率的连乘，这个概率
q
(
z
i
∣
X
,
A
)
q(z_i|X,A)
q(zi∣X,A)的条件是两个已知条件，节点的特征和邻接矩阵，那么每个隐变量
z
i
z_i
zi相当于从一个高斯分布（
μ
i
,
σ
i
2
\mu_i,\sigma_i^2
μi,σi2）进行采样得到的结果。高斯分布的两个参数都是从不同的encoder GCN得来：
μ
=
G
C
N
μ
(
X
,
A
)
,
log
σ
=
G
C
N
σ
(
X
,
A
)
\mu=GCN_\mu(X,A),\log\sigma=GCN_\sigma(X,A)
μ=GCNμ(X,A),logσ=GCNσ(X,A)
两个GCN都是两层的，结构一样，第一层参数一样，但是第二层参数不一样，因此两个GCN的下标不一样。
Generative model：Decoder部分就是用上面得到的两个点的隐变量做内积：
p
(
A
∣
Z
)
=
∏
i
=
1
N
∏
j
=
1
N
p
(
A
i
j
∣
z
i
,
z
j
)
;
w
i
t
h
p
(
A
i
j
=
1
∣
z
i
,
z
j
)
=
σ
(
z
i
⊤
z
j
)
p (A|Z) =\prod_{i=1}^N\prod_{j=1}^Np (A_{ij} | z_i,z_j); with p (A_{ij}= 1 | z_i,z_j) = \sigma(z_i^\top zj)
p(A∣Z)=i=1∏Nj=1∏Np(Aij∣zi,zj);withp(Aij=1∣zi,zj)=σ(zi⊤zj)
这个公式的意思就是根据邻接矩阵找到有边相连的两个节点（
A
i
j
=
1
A_{ij}= 1
Aij=1），然后把两个点的隐变量做内积（实际上就是相似度计算），然后经过sigmoid函数变成概率。
损失函数：
L
=
E
q
(
Z
∣
X
,
A
)
[
log
p
(
A
∣
Z
)
]
−
K
L
[
q
(
Z
∣
X
,
A
)
∣
∣
p
(
Z
)
]
L = E_{q(Z|X,A)}[\log p (A|Z)]-KL[q(Z|X,A)|| p(Z)]
L=Eq(Z∣X,A)[logp(A∣Z)]−KL[q(Z∣X,A)∣∣p(Z)]
这里注意两点：
1、由于A的稀疏性，使用了权重项来平衡值为1的数量比较小的位置，这个trick和SDNE是一样的，具体可以看之前的SDNE笔记中，关于一阶二阶相似度的描述；
2、中间生成隐变量的过程中用到了采样这个操作，这个操作是不可导的，因此不能直接做反向传播计算，在李宏毅的课程里面提到过有几种解决方案（太久了忘记在哪篇里面了），这里用了一种reparameterization trick来解决这个问题。
这个trick的公式在下面的文章，这里先搬上来：
z
=
μ
(
X
)
+
Σ
1
/
2
(
X
)
ϵ
,
ϵ
∼
N
(
0
,
I
)
(1)
z = \mu(X) + \Sigma^{1/2}(X) \epsilon,\epsilon\sim\mathcal{N}(0,I)\tag1
z=μ(X)+Σ1/2(X)ϵ,ϵ∼N(0,I)(1)
GAE
graph auto-encoder(GAE) model就是把中间采样隐变量的步骤去掉，直接用GCN得到Z，再用点乘还原邻接矩阵。
A
^
=
σ
(
Z
Z
⊤
)
,
w
i
t
h
Z
=
G
C
N
(
X
,
A
)
\hat A=\sigma(ZZ^\top) , with\space Z=GCN(X,A)
A^=σ(ZZ⊤),with Z=GCN(X,A)
实验
用边预测来测试模型效果（VGAE和GAE），训练的时候，预先将数据集中的一些边拿掉，点的特征不变，然后再把边拿回来，做成验证和测试集。除了这两个模型，文章还加了谱聚类和DeepWalk两个基线，这两个模型都可以得到节点的表征，然后用表征可以丢到上面的
A
^
=
σ
(
Z
Z
⊤
)
\hat A=\sigma(ZZ^\top)
A^=σ(ZZ⊤)，从而比较模型还原的效果。
表中，带星号的表示用的独热编码作为节点特征初始化。
Tutorial on Variational Autoencoders
原文的图4，编码器用的GCN，解码器用的是点乘
上图中左边是正常流程，总结红色代表采样操作，这个操作由于不可导，反向传播无法使用，因此将其改成右边的的方式，先从标准的高斯分布进行采样，然后在做乘法，然后再加。
VGAE实操
#导入相应的包
from dgl.nn.pytorch import GraphConv
import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F
#定义VGAEModel
class VGAEModel(nn.Module):
def __init__(self, in_dim, hidden1_dim, hidden2_dim):#初始化VGAE
super(VGAEModel, self).__init__()
self.in_dim = in_dim#输入特征维度
self.hidden1_dim = hidden1_dim#两个隐藏层维度
self.hidden2_dim = hidden2_dim
#三层GraphConv，原文中生成均值和方差的W0是共享的，W1是不同的，因此一共要三层
#https://docs.dgl.ai/en/0.6.x/_modules/dgl/nn/pytorch/conv/graphconv.html
#GraphConv用于实现GCN的卷积
layers = [GraphConv(self.in_dim, self.hidden1_dim, activation=F.relu, allow_zero_in_degree=True),#第一层，共享参数
GraphConv(self.hidden1_dim, self.hidden2_dim, activation=lambda x: x, allow_zero_in_degree=True),#第二层求均值
GraphConv(self.hidden1_dim, self.hidden2_dim, activation=lambda x: x, allow_zero_in_degree=True)]#第二层求方差
self.layers = nn.ModuleList(layers)
def encoder(self, g, features):
h = self.layers[0](g, features)#第一层得到输出h
self.mean = self.layers[1](g, h)#第二层求均值
self.log_std = self.layers[2](g, h)#第二层求方差
gaussian_noise = torch.randn(features.size(0), self.hidden2_dim).to(device)#标准高斯分布采样，大小是features_size*hidden2_dim
sampled_z = self.mean + gaussian_noise * torch.exp(self.log_std).to(device)#这里其实是reparameterization trick，具体看公式1和代码如何对应
return sampled_z
def decoder(self, z):
adj_rec = torch.sigmoid(torch.matmul(z, z.t()))#解码器点乘还原邻接矩阵A'
return adj_rec
def forward(self, g, features):#前向传播
z = self.encoder(g, features)#编码器得到隐变量
adj_rec = self.decoder(z)#解码器还原邻接矩阵
return adj_rec