离散数学知识点概述
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1. 命题逻辑
1.1 命题符号化及联结词
具有唯一真值的陈述句称为命题
- x + y > 5.(×)
- 这朵花多好看呀(×)
- 明天下午有会吗？(×)
- 请关上门！(×)
- 除地球外，其他星球上也有生命（√）
不能再分解为更为简单句子的命题为简单命题或原子命题
简单命题可以用p ,q ,r , .. , pi,qi,ri,...表示，称为命题符号化
对于简单命题来说，它的真值是确定的，因而又称为命题常项或命题常元
真值可以变化的简单陈述句称为命题变项或命题变元，也可以用p,q,r,..,pi,qi,ri,...表示
由简单命题用联结词联结而成的命题称为复合命题
这些简单命题之间是通过如“或者”、“并且”、“不”、“如果......则......”、“当且仅当”等这样的关联词和标点符号复合而成。
联结词“或”，又是具有相容性，有时具有排斥性，可是在数理逻辑中不允许这种二义性的存在，因而对联结词必须给出精确的定义，联结词符号化很好的解决了这个问题
真值联结词（逻辑联结词）
- 否定式：设p为一命题，复合命题“非p”(或“p的否定”)称为p的否定式，记作\(\neg\) p。\(\neg\) 为否定联结词，\(\neg\) p为真当且仅当p为假
- 关键词：不是、没有
- 合取式：设p、q为两命题，复合命题“p并且q”(或“p和q”)称为p与q的合取式，记作p \(\land\) q。\(\land\) 称作合取联结词，p \(\land\) q为真有且仅当p与q同时为真
- 关键词：“既\(\ldots\)又\(\ldots\)”，“不仅\(\ldots\)而且\(\ldots\)”，“虽然\(\ldots\)但是\(\ldots\)”
- 用p表示“李平聪明”，q表示“李平用功”，“李平不是不聪明，而是不用功” \(\Rightarrow\) \(\neg\) ( \(\neg\) p) \(\land\) \(\neg\) q
- "李文和李武是好朋友"此命题虽出现“和”，但它是简单命题，而不是复合命题
- 析取式：设p、q为两命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p \(\lor\) q。\(\lor\) 称作析取联结词，p \(\lor\) q为假有且仅当p与q同时为假
- 关键词：相容或
- p表示”王燕学过英语“，q表示“王燕学过法语”，“王燕学过英语和法语” \(\Rightarrow\) p \(\lor\) q
- p表示“派小王开会”，q表示“派小李去开会”， “派小王或者小李去开会” \(\Rightarrow\) (p \(\lor\) q) \(\land\) \(\neg\) (p \(\land\) q), (p \(\land\) \(\neg\) q) \(\land\) (p \(\land\) \(\neg\) q)
- 蕴含式：设p、q为两命题，复合命题“如果p，则q”称作p与q的蕴含式，记作p \(\rightarrow\) q，称q为蕴含式的前件，q为蕴含式的后件。\(\rightarrow\) 称作蕴涵联结词，p \(\rightarrow\) q为假当且仅当p为真q为假
- 关键词：“只要p就q”，“p仅当q”，“只有q才p”
- q是p的必要条件，或p是q的充分条件
- 在数理逻辑中p \(\rightarrow\) q中的p与q不一定有什么内在联系
- 等价式：设p、q为两命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p \(\leftrightarrow\) q。\(\leftrightarrow\) 称作等价联结词，p \(\leftrightarrow\) q为真当且仅当p与q的真值相同
- 关键词：“当且仅当”
- p与q互为充分必要条件