用PostgreSQL解海盗分金问题

2021-10-08 03:15:14

今天午休期间刷微信，看到云和恩墨的盖总转了一条朋友圈，说杨长老在Oracle中用SQL解海盗分金问题（原文《无往不利：用SQL解海盗分金的利益最大化问题》，看完之后手痒，决定试试在PostgreSQL中解决该问题。

问题简述

有5个海盗分100个金币，通过抓阄决定了先后顺序，依次提出分赃方案，需得半数以上（含自己）同意才能通过，否则提方案的海盗就会被处死。现要求为第一个海盗提供最佳方案。

需求分析

原文中有提到用逆推的思路解决问题，但对问题的分析比较简短，所以我补充一下我的思考过程。

首先，从问题中可提炼出以下几点有用的信息：

海盗数量：5
金币数量：100
抓阄结果：顺序已决定，可给海盗编号为1-5
通过条件：赞成人数比例 > 50%
最佳方案：问题中海盗们需争取“保命”和“金币”，并且前者比后者更重要，因此会产生以下三种结果，其中收益逐个递减
1. 保命，且尽可能多地获得金币
2. 保命，但没金币
3. 没命

原问题假定所有的海盗都足够理智、足够聪明，言下之意是海盗们会权衡：当且仅当，同意当前方案带来的收益，高于拒绝当前方案带来的收益，才会同意。因此，为了让当前的方案通过，需要去贿赂至少50%的海盗，让他们的收益高于后续方案的收益。

这个过程和竞选总统很像。比如，特朗普承诺如果他能当总统，每位共和党成员都能得到一枚金币；而希拉里当总统，将只给每位*党成员发一枚金币。利益虽然小，但两个党派成员都清楚，若非本党派人士担任总统，会连这一点小利益都没有，因此都会支持自己党派的成员，以获得这看似不大的最高收益。

任务拆解

综上所述，为了贿赂成功，得先了解竞争对手的行贿策略，在其基础上提供更高的收益（没命的海盗为其保命、保住命的海盗增加他金币的数量）；为使行贿的成本最低，可优先贿赂在竞争对手方案中收益最低的群体。

这意味着，5个海盗的最佳策略依赖4个海盗的策略，4个海盗的策略依赖3个海盗的策略，依次类推。这个过程，就是原文中提的逆推过程：

1个海盗时，他直接拥有100个金币，即分配方案是：[100]
2个海盗时，无论提出何种方案，都不会超过前一个方案的收益100，所以第二个提方案的海盗不会同意任何方案，即第一个海盗在该场景必死，分配方案是：[null, 100]
3个海盗时，上一个方案中有一个海盗“没命”，可以用“保命”去贿赂他，不用花金币，即最佳分配方案是：[100, 0, 0]
4个海盗时，同理，无论提何种方案，都无法超越100这个最高收益，所以有一个海盗一定会反对，剩下两个海盗在之前的方案中没有任何收益，只要给他们各1个金币即可：[98, 0, 1, 1]
5个海盗时，前面4个海盗都可以被贿赂，但根据最小成本原则，优先贿赂上一轮收益为0的海盗，再从收益是1的两位海盗中随机挑选一位，给他2个金币，因此有两套方案：[97, 0, 1, 2, 0] 或 [97, 0, 1, 0, 2]

程序设计

前文手工推导整个过程，现在就开始尝试用SQL来模拟这个过程。倒不是说SQL是解决该问题的最佳选择，而是想通过这个问题来学习和巩固SQL的知识。

数据结构

该问题中，每个海盗需要保存他的编号以及他的收益。标准SQL语言中，除了提供数值、字符串等基础数据类型，还支持数组这种复合数据类型，语法是array[<elements>...]。海盗的信息可以用一个长度为2的整型数组来保存，其中第一项保存海盗的编号，第二项保存海盗的收益，如果海盗“没命”则金额null。例如，array[2, null]表示编号为2的海盗“没命”、array[4, 98]表示编号为4的海盗最高收益是98个金币。

分配策略——多个海盗的信息——也可采用数组保存，即二维的整型数组。例如上述2个海盗是的分配策略是：array[[1, null], [2, 100]]，即第一个海盗没命，第二个海盗有100个金币。

贿赂算法

根据前文的分析，实时贿赂的步骤如下：

分配策略根据每个海盗的收益排升序：
1. null（没命）最靠前
2. 金额小的靠前
增加前一半的海盗的收益
- 一半的数量：排除自己，剩余海盗的总数n
  - n为偶数：一半的数量为n / 2
  - n为奇数：一半的数量为(n + 1) / 2
- 行贿策略
  - 金额为null时，改成0
  - 金额非null时，加1
调整后一半的海盗收益为0

成本升序

PostgreSQL原生未提供通用数组的排序功能（intarray插件中的sort函数只能用于非null的一位整型数组），要对二维整型数组结构的分配策略排序，需要先将数组展开成行记录（row），再用order by排序。

虽然PostgreSQL提供了unnest函数用于将数组展开成行，但它真正的功能是flatten，会拍平深层的结构。例如：select unnest(array[[1,2],[3,4]])会返回4行记录，而不是期望的2行记录。

因此，需要自己实现数组的一维展开功能。需要用到array_lower(anyarray, int)和array_upper(anyarray, int)两个函数分别获得数组下标的上边界和下边界，然后用generate_series生成下标序列。注意：SQL中的数组下标是从1开始。假设策略数组的名称是strategy，则展开+排序的代码如下：

select
  strategy[i][1] as id,
  strategy[i][2] as amount
from
  generate_series(array_lower(strategy, 1),
                  array_upper(strategy, 1)) as t(i)
order by
  amount nulls first

其中nulls first是显示地指定null排在最前。PostgreSQL中，null默认比非null值大，因此升序时排在最后，降序时排在最前。可用nulls first或nulls last打破该默认行为。

标记同伙

为了判断哪些海盗属于同伙（前一半），需要给上述排好序的列表标注新的下标，PostgreSQL中提供了row_number()窗口函数，可以获得当前行的行号；接着用函数array_length(anyarray, int)可获得数组的长度，最后一个需要贿赂的海盗的下标是(array_length(strategy, 1) + 1) / 2。假设上述排好序的数据存入临时表strategies，则计算每一个海盗的贿赂成本代码如下：

select
  id,
  amount,
  case
    -- 判断是否是同伙
    when row_number() over () <= (array_length(strategy, 1) + 1) / 2
      then coalesce(amount + 1, 0) -- 活着的海盗金币上涨，死了的海盗复活
    else 0 -- 后一半的海盗没有任何金币
  end as cost
from
  strategies

分配方案

如果行贿的成本（sum(cost)）高于总金币数量（100），意味着无法得到超过半数的赞成，保持上一次的方案，即保留amount作为每个海盗的最大收益；否则，减去成本剩下的就是新增海盗的最高收益（100 - sum(cost)），其他海盗改用cost作为新一轮的最大收益。

在“数据结构”一节中已经提过，策略的数据结构是二维整数数组，前文为了排序，已将数组转成行记录，先需要使用PostgreSQL的窗口函数array_agg再将行记录转成数组，同时使用array_cat追加一个海盗信息。

假设上述标记好同伙的数据存入临时表strategies，则计算分配方案的代码如下：

select
  case
    when sum(cost) <= 100 then -- 判断是否能存活
      array_cat(array_agg(array[id, cost]),
                array[[array_length(strategy, 1) + 1,
                       100 - sum(cost)]]::int[])
    else
      array_cat(array_agg(array[id, amount]),
                array[[array_length(strategy, 1) + 1,
                       null]]::int[])
  end
from
  strategies

迭代

至此，已完成分配方案单次调整的功能：给定任意分配方案，能算出再增加一个海盗时的最优分配策略。为了得到5个海盗的最优解，只需把这个功能迭代5次即可；但迭代过程中每一次的输出都要作为下一次的输入。SQL正好提供了with recursive，同时满足迭代和管道两个功能！

with子句用于定义只在一个查询中存在的临时表，带上recursive关键字后，可执行递归查询，例如递归查询所有子类型。我一直觉得这个名字太容易误导，它的整个执行过程其实类似广度优先搜索（BFS），例如：

with recursive foo(n) as (
  values (1), (3), (5) -- 队列初始状态
union all
  select n + 3 from foo where n < 5
)
select * from foo;

这段递归查询代码功能等价于以下迭代的Python代码：

(queue, foo) = ([1, 3, 5], []) # 对应 values (1), (3), (5)
while queue:
  n = queue.pop(0)
  foo.append(n)
  if n < 5: # 对应 where n < 5
    queue.append(n + 3) # 对应 select n + 3

print foo # 对应 select * from foo

上述两端代码的执行结果都是：1、3、5、4、6、7，共6项数据。其中前三项1、3、5是队列初始化的数据，而4由1生成、6由3生成、7由4生成。

回到海盗分金的问题，假设把上一节的分配策略功能定义成一个函数bribe，则迭代的代码如下：

with recursive spoils(strategy) as (
  values (array[[1, 100]]) -- 初始状态，一个海盗拿全部
union all
  select
    bribe(strategy) -- 生成下一个分配策略
  from
    spoils
  where
    array_length(strategy, 1) < 5
)

即在策略长度小于5时，反复生成新的策略。

完整代码

至此，需求中的所有功能点都有对应的SQL方案可解决：迭代5次后，选出数组长度（海盗人数）为5的方案即可。以下是完整的SQL代码，在PostgreSQL可直接执行：

with recursive spoils(strategy) as (
  values (array[[1, 100]]) -- 初始状态，一个海盗拿全部
union all
  select (
    with strategies as ( -- 用嵌套的 with 子句计算到下一个状态的成本
      select
        *,
        case
          when row_number() over () <= (array_length(strategy, 1) + 1) / 2
            then coalesce(amount + 1, 0)
          else 0
        end as cost
      from (
        select
          strategy[i][1] as id,
          strategy[i][2] as amount
        from
          generate_series(array_lower(strategy, 1),
                          array_upper(strategy, 1)) as t(i)
        order by
          amount nulls first
      ) as t
    )
    select
      case
        when sum(cost) <= 100 then -- 判断是否能存活
          array_cat(array_agg(array[id, cost]),
                    array[[array_length(strategy, 1) + 1,
                           100 - sum(cost)]]::int[])
        else
          array_cat(array_agg(array[id, amount]),
                    array[[array_length(strategy, 1) + 1,
                           null]]::int[])
      end
    from
      strategies
  )
  from
    spoils
  where
    array_length(strategy, 1) < 5
)
select
  5 + 1 - strategy[i][1] as id,
  strategy[i][2] as amount
from (
  select
    strategy,
    generate_series(array_lower(strategy, 1),
                    array_upper(strategy, 1)) as i
  from
    spoils
  where
    array_length(strategy, 1) = 5
) as t
order by
  id;

执行结果如下，并且性能也不错，在我本地测试只需要1ms：

id	amount
1	97
2	0
3	1
4	2
5	0

新的挑战

上述方案只得到一个最优解，从前文分析可知，5个海盗分金时有2个最优解，于是杨长老又出招了：“能否只用一句SQL获得所有的最优解？”有兴趣的小伙伴可以一起来挑战一下。

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