题目

剑指 Offer 47. 礼物的最大价值

思路1

• 因为是要求最大价值，而且只能移动下方或者右方，因此，每个位置的最大值就是本身的值加上上边 / 左边 中的最大值，然后每次遍历都可以复用上一次的值。因此我们可以得到状态转移方程：
  • $ dp[i][j]=\begin{matrix} max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j] \end{matrix} $
• 我们可以创建一个行和列都要多一行的 dp 数组，这样子可以不用判断条件了，但是同时也要注意 grid 中的坐标都要减去 1，因为我们是从 1 开始的：

代码

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        int row = grid.length;
        int col = grid[0].length;
        // 创建dp数组，让 row 和 col 都多创建一行就可以避免判断边界值问题
        int dp[][] = new int[row+1][col+1];

        for (int i = 1; i <= row; i++) {
            for (int j = 1; j <= col; j++) {
                // 这里的 grid 中 i-1 和 j-1 是因为我们是从 1 开始的，所以要减去 1 才是原始正确的位置
                dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i-1][j-1];
            }
        }

        // 最后直接返回数组右下角值即可
        return dp[row][col];
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：\(O(MN)\)，
• 空间复杂度：\(O(MN)\)，创建 dp 数组所花费的空间

思路2

• 然后我们可以优化一下，因为只能左走或者右走，因此第一行和第一列是固定的一条路，我们可以事先初始化计算一下第一行和第一列，到时就不用计算了。因此直接在原数组上直接进行就可以了

代码

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        int row = grid.length;
        int col = grid[0].length;

        // 先初始化边界
        for (int i = 1; i < row; i++) {
            grid[i][0] += grid[i-1][0];
        }
        for (int i = 1; i < col; i++) {
            grid[0][i] += grid[0][i-1];
        }

        // 遍历
        for (int i = 1; i < row; i++) {
            for (int j = 1; j < col; j++) {
                // 选择左边或者上边
                grid[i][j] += Math.max(grid[i-1][j], grid[i][j-1]);
            }
        }

        // 最后直接返回数组右下角值即可
        return grid[row-1][col-1];
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：\(O(MN)\)，
• 空间复杂度：\(O(1)\)，无需创建 dp 数组