作者：雨中春树万人家
一、递归知识点梳理
1.定义：函数调用自身，此类函数统称为递归函数。
2.特点：将一个大型的、复杂的问题，转化成与原问题类型相同，规模缩小的问题。
3.实现方法：
①注意函数的终止条件。终止时，一般对某一个变量赋值或直接返回某个常数。
②注意从n到n-1的过渡条件。常见的过渡条件有加减某一项、乘除某一项。
③如果涉及多个步骤，要考虑步骤的先后顺序。例如：从高位到低位输出一个数，与从低位到高位输出一个数，则输出n%10与自身调用（n/10充当变量）的先后顺序是相反的。
④仅靠递归函数无法较好地表达过渡条件时，可以新建其他函数，运用模块化程序设计思想。
⑤过渡条件用具体的数学表达式实现，n-1时调用函数自身。
二、递归习题分析
10-2 递归实现指数函数（15分）
本题要求实现一个计算x^n（n≥1）的函数。
函数接口定义：
double calc_pow( double x, int n );函数calc_pow应返回x的n次幂的值。建议用递归实现。题目保证结果在双精度范围内。
裁判测试程序样例：
#include <stdio.h>
double calc_pow( double x, int n );
int main()
{
double x;
int n;
scanf("%lf %d", &x, &n);
printf("%.0f\n", calc_pow(x, n));
return 0;
}
/* 你的代码将被嵌在这里 */输入样例：
2 3结尾无空行
输出样例：
8代码（含注释）：
double calc_pow( double x, int n )
{
if(n==1)
return x;//终止条件：当n==1成立时，直接返回x
else
return x*calc_pow(x,n-1);
//从n到n-1的过渡条件是乘以x
}10-3 递归计算Ackermenn函数（15分）
本题要求实现Ackermenn函数的计算，其函数定义如下：
函数接口定义：
int Ack( int m, int n );其中m和n是用户传入的非负整数。函数Ack返回Ackermenn函数的相应值。题目保证输入输出都在长整型
范围内。
裁判测试程序样例：
#include <stdio.h>
int Ack( int m, int n );
int main()
{
int m, n;
scanf("%d %d", &m, &n);
printf("%d\n", Ack(m, n));
return 0;
}
/* 你的代码将被嵌在这里 */输入样例：
2 3结尾无空行
输出样例：
9结尾无空行
代码（含注释）：
int Ack( int m, int n )
{
if(m==0)
return n+1;
else if(n==0&&m>0)
return Ack(m-1,1);
else
return Ack(m-1,Ack(m,n-1));
//本题按照图片即可进行递归
}10-4 递归实现顺序输出整数 (15 分)
本题要求实现一个函数，对一个整数进行按位顺序输出。
函数接口定义：
void printdigits( int n );函数printdigits应将n的每一位数字从高位到低位顺序打印出来，每位数字占一行。
裁判测试程序样例：
#include <stdio.h>
void printdigits( int n );
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
printdigits(n);
return 0;
}
/* 你的代码将被嵌在这里 */输入样例：
12345结尾无空行
输出样例：
1
2
3
4
5结尾无空行
代码（含注释）
void printdigits( int n )
{
if(n<10)
printf("%d",n);//终止条件：n只有1位时，直接输出n
else
{
printdigits(n/10);//注意过渡条件是n/10
printf("\n%d",n%10);//由于从高位向低位输出,应该先调用自身，再输出n%10
}
}10-5 递归求阶乘和 (15 分)
本题要求实现一个计算非负整数阶乘的简单函数，并利用该函数求 1!+2!+3!+...+n! 的值。
函数接口定义：
double fact( int n );
double factsum( int n );函数fact应返回n的阶乘，建议用递归实现。函数factsum应返回 1!+2!+...+n! 的值。题目保证输入输出在双精度范围内。
裁判测试程序样例：
#include <stdio.h>
double fact( int n );
double factsum( int n );
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
printf("fact(%d) = %.0f\n", n, fact(n));
printf("sum = %.0f\n", factsum(n));
return 0;
}
/* 你的代码将被嵌在这里 */输入样例1：
10结尾无空行
输出样例1：
fact(10) = 3628800
sum = 4037913结尾无空行
输入样例2：
0输出样例2：
fact(0) = 1
sum = 0代码（含注释）：
double fact( int n )
{
if(n==1||n==0)
return 1;//终止条件
else
return n*fact(n-1);//从n-1到n的过渡：乘以n
}
double factsum( int n )
{
double sum;
if(n==1)
sum=fact(n);
else if(n==0)
sum=0;//终止条件
else
sum=fact(n)+factsum(n-1);
//从n-1到n的过渡：加上fact(n)
//过渡部分是具体表达式，左边结果、右边n-1时结果都用递归函数代入表示
return sum;
}10-6 递归求简单交错幂级数的部分和 (15 分)
本题要求实现一个函数，计算下列简单交错幂级数的部分和：
f(x,n)=x−x^2+x^3−x^4+⋯+(−1)^(n−1)*x^n
函数接口定义：
double fn( double x, int n );其中题目保证传入的n是正整数，并且输入输出都在双精度范围内。函数fn应返回上述级数的部分和。建议尝试用递归实现。
裁判测试程序样例：
#include <stdio.h>
double fn( double x, int n );
int main()
{
double x;
int n;
scanf("%lf %d", &x, &n);
printf("%.2f\n", fn(x,n));
return 0;
}
/* 你的代码将被嵌在这里 */输入样例：
0.5 12结尾无空行
输出样例：
0.33结尾无空行
代码（含注释）
double fact(double x,double n)//fact用于计算x的n次方
{
if(n==1)
return x;
else
return x*fact(x,n-1);
}
int positive(int n)//positive用于计算系数的正负
{
if(n%2==1)
return 1;
else
return -1;
}
double fn( double x, int n )
{
double sum;
if(n==1)
sum=x;//终止条件
else
sum=positive(n)*fact(x,n)+fn(x,n-1);//fn函数内部无法简便表达过渡条件，故构造positive,fact函数
return sum;//过渡条件：加上positive(n)*fact(x,n)，即x的n次方（正负号依据n的奇偶性确定）
}10-8 递归求Fabonacci数列 (10 分)
本题要求实现求Fabonacci数列项的函数。Fabonacci数列的定义如下：
f(n)=f(n−2)+f(n−1) (n≥2)，其中f(0)=0，f(1)=1。
函数接口定义：
int f( int n );函数f应返回第n个Fabonacci数。题目保证输入输出在长整型范围内。建议用递归实现。
裁判测试程序样例：
#include <stdio.h>
int f( int n );
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
printf("%d\n", f(n));
return 0;
}
/* 你的代码将被嵌在这里 */输入样例：
6结尾无空行
输出样例：
8结尾无空行
代码（含注释）
int f( int n )
{
if(n==0)
return 0;
else if(n==1||n==2)
return 1;//终止条件（注意题目对n==0的要求）
else
return f(n-1)+f(n-2);//过渡：直接调用f(n-1) f(n-2)并相加
}三、总结
以上为递归的简单运用，注意分析过渡条件、终止条件，即可解决递归的简单问题。
感谢您的浏览，敬请期待后续更新。