前提：矩阵A必须可相似对角化！
充分条件:
- $A$ 是实对称矩阵
- $A$ 有 $n$ 个互异特征值
- $A^{\wedge} 2=A $
- $\mathrm{A}^{\wedge} 2=\mathrm{E} $
- $ r(A)=1 且 \operatorname{tr}(A) !=0$
谱分解（Spectral Decomposition ），又称特征分解，或相似标准形分解，是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法，需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。它体现了线性变换的旋转和缩放的功效。
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称阵，则必有正交阵 $P$ ，使 $A=P \Lambda P^{T} $ 其中 $ \Lambda $ 是以 $ A $ 的 $n$ 个特征值为对角元的对角阵， $P$ 是由 $A$ 的 $ n$ 个特征向量得到 的正交矩阵。
实对称矩阵谱分解的步骤
设 $\boldsymbol{A} \in \boldsymbol{R}^{n \times n}$, $ \boldsymbol{A}^{\prime}=\boldsymbol{A} $
(i) 求出 $A$ 的所有不同的特征值: $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{r} \in R $，其重数 $n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{r} $ 必满足 $\sum_{i=1}^{r} n_{i}=n $;
(ii) 对每个 $ \lambda_{i} $ ，解齐次线性方程组
$\left.\left(\lambda_{i}\right) E-A\right) X=0$
求出它的一个基础解系: $\alpha_{i 1}, \alpha_{i 2}, \cdots, \alpha_{i n} $
把它们按 Schmidt 正交化过程化成 标准正交组
$\boldsymbol{\eta}_{i 1}, \boldsymbol{\eta}_{i 2}, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{i n}$
(iii) 因为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{r} $ 互不相同，所以
将 $\boldsymbol{\eta}_{11}, \boldsymbol{\eta}_{12}, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{1 n_{1}}, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{r 1}, \boldsymbol{\eta}_{r 2}, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{r \boldsymbol{n}_{r}}$ 的分量依次作 矩阵 $P$的第 $1,2, \cdots, n$ 列, 则 $P$ 是正交矩阵, 且有 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{P}^{\boldsymbol{T}}$ .
例题
已知 $A=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\-1 & 0 & 1 \\1 & 1 & 0\end{array}\right]$ 求一个正交矩阵 $P$ , 使 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{P}^{\boldsymbol{T}}$ 为对角阵.
第1步: 求特征值.
$\begin{array}{c}|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & -1 \\1 & \lambda & -1 \\-1 & -1 & \lambda\end{array}\right| \underline{r_{1}-r_{2}}\left|\begin{array}{cccc}\lambda-1 & 1-\lambda & 0 \\1 & \lambda & -1 \\-1 & -1 & \lambda\end{array}\right| \\=(\lambda-1)\left|\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\1 & \lambda & -1 \\-1 & -1 & \lambda\end{array}\right|=(\lambda-1)\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\1 & \lambda+1 & -1 \\-1 & -2 & \lambda\end{array}\right|=(\lambda+2)(\lambda-1)^{2} \\\lambda_{1}=-2, \lambda_{2}=\lambda_{3}=1\end{array}$
第2步: 求线性无关的特征向量.
对 $\lambda_{1}=-2$ , 解方程组 $(A+2 E) x=0$
$A+2 E=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\-1 & 2 & 1 \\1 & 1 & 2\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 0\end{array}\right]$
求得基础解系(即最大无关特征向量)
$\alpha_{1}=\left[\begin{array}{c}-1 \\-1 \\1\end{array}\right]$
对 $\lambda_{2}=\lambda_{3}=1$ , 解方程组 $(A-E) x=0 $
$A-E=\left[\begin{array}{ccc}-1 & -1 & 1 \\-1 & -1 & 1 \\1 & 1 & -1\end{array}\right] \stackrel{r}{\rightarrow}\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{array}\right]$
求得基础解系(即最大无关特征向量)
$\begin{array}{l}\alpha_{2}=\left[\begin{array}{c}-1 \\1 \\0\end{array}\right], \alpha_{3}=\left[\begin{array}{c}1 \\0 \\1\end{array}\right] , \alpha_{1}=\left[\begin{array}{c}-1 \\-1 \\1\end{array}\right] \\{\left[\alpha_{1}, \alpha_{2}\right]=?\left[\alpha_{1}, \alpha_{3}\right]=? \quad\left[\alpha_{2}, \alpha_{3}\right]=0 ?}\end{array}$
第3步: 检验重特征值对应的特征向量是否正交, 如果不正交,
用施密特过程正交化; 再把正交的特征向量单位化.
$\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{\mathbf{2}}=\left[\begin{array}{c}-\mathbf{1} \\\mathbf{1} \\\mathbf{0}\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{\mathbf{3}}=\left[\begin{array}{l}\mathbf{1} \\\mathbf{0} \\\mathbf{1}\end{array}\right] \\\boldsymbol{\beta}_{\mathbf{2}}=\boldsymbol{\alpha}_{\mathbf{2}} \\\boldsymbol{\beta}_{3}=\alpha_{3}-\frac{\left[\beta_{2}, \alpha_{3}\right]}{\left[\beta_{2}, \beta_{2}\right]} \boldsymbol{\beta}_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\0 \\1\end{array}\right]+\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}-1 \\1 \\0\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{l}1 \\1 \\2\end{array}\right]\end{array}$
单位化:
$\xi_{1}=\frac{\alpha_{1}}{\left\|\alpha_{1}\right\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{c}-1 \\-1 \\1\end{array}\right] \quad \xi_{2}=\frac{\beta_{2}}{\left\|\beta_{2}\right\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}-1 \\1 \\0\end{array}\right] \quad \xi_{3}=\frac{\beta_{3}}{\left\|\beta_{3}\right\|}=\frac{1}{\sqrt{6}}\left[\begin{array}{l}1 \\1 \\2\end{array}\right]$
第4步: 把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵.
令 $ P=\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{-1}{\sqrt{3}} & \frac{-1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{-1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right] $
则 $A=P\left[\begin{array}{ccc}-2 & & \\ & 1 & \\ & & 1\end{array}\right] P^{T}$