Local Outlier Factor（LOF）是基于密度的经典算法（Breuning et.al. 2000）, 文章发表于 SIGMOD 2000, 到目前已经有 3000+ 的引用。在 LOF 之前的异常检测算法大多是基于统计方法的，或者是借用了一些聚类算法用于异常点的识别（比如 ，DBSCAN，OPTICS）。但是，基于统计的异常检测算法通常需要假设数据服从特定的概率分布，这个假设往往是不成立的。而聚类的方法通常只能给出 0/1 的判断（即：是不是异常点），不能量化每个数据点的异常程度。相比较而言，基于密度的LOF算法要更简单、直观。它不需要对数据的分布做太多要求，还能量化每个数据点的异常程度（outlierness）。
算法介绍
LOF 是基于密度的算法，其最核心的部分是关于数据点密度的刻画。如果对 distanced-based 或者 density-based 的聚类算法有些印象，你会发现 LOF 中用来定义密度的一些概念似曾相识。了解了这些核心概念，整个算法也就显而易见了。而整个算法，最主要的是下面四个概念：
K-邻近距离（k-distance）：在距离数据点 p 最近的几个点中，第 k 个最近的点跟点 p 之间的距离称为点 p 的 K-邻近距离，记为 k-distance (p) 。
可达距离（rechability distance）：可达距离的定义跟K-邻近距离是相关的，给定参数k时， 数据点 p 到 数据点 o 的可达距离 reach-dist（p, o）为数据点 o 的K-邻近距离 和 数据点p与点o之间的直接距离的最大值。即：
$$ reach\\_dist_{k}(p,o)=\max\\{k\text{-}distance(o),d(p,o)\\} $$
局部可达密度（local rechability density）：局部可达密度的定义是基于可达距离的，对于数据点 p，那些跟点p的距离小于等于 k-distance（p）的数据点称为它的 k-nearest-neighbor，记为 $N_k(p)$，数据点 p 的局部可达密度为它与邻近的数据点的平均可达距离的倒数，即：
$$ lrd_{k}(p)=\frac{1}{\frac{\sum_{o\in{N_{k}(p)}}reach\_dist_k(p,o)}{|N_k(p)|}} $$
局部异常因子（local outlier factor）：根据局部可达密度的定义，如果一个数据点跟其他点比较疏远的话，那么显然它的局部可达密度就小。但LOF算法衡量一个数据点的异常程度，并不是看它的绝对局部密度，而是看它跟周围邻近的数据点的相对密度。这样做的好处是可以允许数据分布不均匀、密度不同的情况。局部异常因子即是用局部相对密度来定义的。数据点 p 的局部相对密度（局部异常因子）为点p的邻居们的平均局部可达密度跟数据点p的局部可达密度的比值，即：
$$ LOF_{k}(p)=\frac{\sum_{o\in{N_k(p)}}\frac{lrd(o)}{lrd(p)}}{|N_{k}(p)|}=\frac{\sum_{o\in{N_{k}(p)}}lrd(o)}{|N_{k}(p)|}/lrd(p) $$
根据局部异常因子的定义，如果数据点 p 的 LOF 得分在1附近，表明数据点p的局部密度跟它的邻居们差不多；如果数据点 p 的 LOF 得分小于1，表明数据点p处在一个相对密集的区域，不像是一个异常点；如果数据点 p 的 LOF 得分远大于1，表明数据点p跟其他点比较疏远，很有可能是一个异常点。下面这个图来自 Wikipedia 的 LOF 词条，展示了一个二维的例子。上面的数字标明了相应点的LOF得分，可以让人对LOF有一个直观的印象。
了解了 LOF 的定义，整个算法也就显而易见了：
- 对于每个数据点，计算它与其它所有点的距离，并按从近到远排序；
- 对于每个数据点，找到它的 k-nearest-neighbor，计算 LOF 得分。
算法应用
LOF算法中关于局部可达密度的定义其实暗含了一个假设，即：不存在大于等于 k 个重复的点。当这样的重复点存在的时候，这些点的平均可达距离为零，局部可达密度就变为无穷大，会给计算带来一些麻烦。在实际应用时，为了避免这样的情况出现，可以把 k-distance 改为 k-distinct-distance，不考虑重复的情况。或者，还可以考虑给可达距离都加一个很小的值，避免可达距离等于零。
LOF 算法需要计算数据点两两之间的距离，造成整个算法时间复杂度为 $O(n^2)$ 。为了提高算法效率，后续有算法尝试改进。FastLOF （Goldstein，2012）先将整个数据随机的分成多个子集，然后在每个子集里计算 LOF 值。对于那些 LOF 异常得分小于等于 1 的，从数据集里剔除，剩下的在下一轮寻找更合适的 nearest-neighbor，并更新 LOF 值。这种先将数据粗略分成多个部分，然后根据局部计算结果将数据过滤来减少计算量的想法，并不罕见。比如，为了改进 K-means 的计算效率， Canopy Clustering 算法也采用过比较相似的做法。
参考文献
- M. M. Breunig, H. P. Kriegel, R. T. Ng, J. Sander. LOF: Identifying Density-based Local Outliers. SIGMOD, 2000.
- M. Goldstein. FastLOF: An Expectation-Maximization based Local Outlier detection algorithm. ICPR, 2012