【Java数据结构】二叉树到底是什么品种的树?以及二叉树有哪些基操

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【Java数据结构】二叉树到底是什么品种的树?以及二叉树有哪些基操

树型结构

概念

树的表示形式

树的应用

二叉树(重头戏)

概念

二叉树的基本形态

两种特殊的二叉树

二叉树的性质

二叉树的储存

二叉树的遍历(前中后序)

层序遍历

利用层序遍历,判断一棵树是不是完全二叉树

二叉树的基本操作

树型结构

概念

【Java数据结构】二叉树到底是什么品种的树?以及二叉树有哪些基操

树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。它具有以下的特点:


有一个特殊的节点,称为根节点,根节点没有前驱节点

除根节点外,其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm,其中每一个集合 Ti (1 <= i

<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继

树是递归定义的。

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节点的度: 一个节点含有的子树的个数称为该节点的度;


树的度: 一棵树中,最大的节点的度称为树的度;


叶子节点或终端节点: 度为0的节点称为叶节点;


双亲节点或父节点: 若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点;


孩子节点或子节点: 一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点;


根结点: 一棵树中,没有双亲结点的结点;


节点的层次: 从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;

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树的高度或深度: 树中节点的最大层次;


非终端节点或分支节点: 度不为0的节点;


兄弟节点: 具有相同父节点的节点互称为兄弟节点;


堂兄弟节点: 双亲在同一层的节点互为堂兄弟;


节点的祖先: 从根到该节点所经分支上的所有节点;


子孙: 以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。


森林: 由m(m>=0)棵互不相交的树的集合称为森林


树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,实际中树有很多种表示方式,如:双亲表示法,孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。


这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

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树的应用

  • 文件系统管理(目录和文件)等


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二叉树(重头戏)

概念

【Java数据结构】二叉树到底是什么品种的树?以及二叉树有哪些基操

一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合或者为空,或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点:

  1. 每个结点最多有两棵子树,即二叉树不存在度大于 2 的结点
  2. 二叉树的子树有左右之分,其子树的次序不能颠倒,因此二叉树是有序树。

二叉树的基本形态

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上图给出了几种特殊的二叉树形态,从左往右依次是:

空树、只有根节点的二叉树、节点只有左子树、节点只有右子树、节点的左右子树均存在

一般二叉树都是由上述基本形态结合而形成的。


两种特殊的二叉树

满二叉树: 一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。也就是说,如果一个二叉树的层数为K,且结点总数是2^k-1 ,则它就是满二叉树。

完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

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二叉树的性质

若规定根节点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) (i>0)个结点

若规定只有根节点的二叉树的深度为1,则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k -1 (k>=0)

对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0=n2+1

具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2(n+1) 向上取整

对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号,则对于序号为i的结点有:

①若i>0,双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根节点编号,无双亲节点

②若2i+1<n,左孩子序号:2i+1,否则无左孩子

③若2i+2<n,右孩子序号:2i+2,否则无右孩子

比如一道例题: 假设一棵完全二叉树中总共有1000个节点,则该二叉树中__500__ 个叶子节点,__ 500___ 个非叶子节点 , __ 1 __ 个节点只有左孩子 ,__0__个只有右孩子。

问题解析:


总共有多少层?k=log2(1000+1) =10层

如果是10层,那么放满也就是满二叉树,总共2^10-1 = 1023个节点,但是现在只有1000个,那么说明当前这个树,不是满二叉树

第10层肯定是没放满的!!!

说明第9层肯定放满了

那前9层共有多少个节点呢?2^9-1 = 511个

所以第10层有1000-511=489个节点,都是叶子节点

现在就要考虑一个问题,第10层的节点是由多少个第9层节点产生的?489/2=244.5取245个

第9层这一层有多少个节点?2^(9-1) = 256个

所以第9层有245个节点是有孩子的,其中有1个节点只有一个左孩子,所以第9层的叶子节点有256-245=11个,第9层第10层的叶子节点共有11+489 =500个

二叉树的储存

二叉树的存储结构分为: 顺序存储和类似于链表的链式存储

本文先介绍链式储存


二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的,常见的表示方式有二叉和三叉表示方式,

孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍,本文采用孩子表示法来构建二叉树。

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二叉树的遍历(前中后序)

所谓 遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线,依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如:打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一,是二叉树上进行其它运算之基础。


在遍历二叉树时,如果没有进行某种约定,每个人都按照自己的方式遍历,得出的结果就比较混乱,如果按照某种规则进行约定,则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点,L代表根节点的左子树,R代表根节点的右子树,则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式:


NLR:前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。

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LNR:中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。

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LRN:后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。

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由于被访问的结点必是某子树的根,所以N(Node)、L(Left subtree)和R(Right subtree)又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。 实现代码在后边基本操作里


层序遍历

层序遍历嘛,就是按层,从上到下,从左到右遍历,这个没啥好说的。

设二叉树的根节点所在层数为1,层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发,首先访问第一层的树根节点,然后从左到右访问第2层上的节点,接着是第三层的节点,以此类推,自上而下,自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

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代码实现: 设置一个队列,利用队列先入先出的性质实现层序遍历,每出队一个节点,就判断这个节点是否有左右孩子节点,如果有,就将孩子节点入队

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利用层序遍历,判断一棵树是不是完全二叉树

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二叉树的基本操作

前中后序遍历原理非常相似,都是采取递归思想,就是先判断当前根节点是否为空,然后三行代码交换位置玩,一行代表当前根节点的操作,一行代表左孩子节点,一行代表右孩子节点,每递归一次,左孩子节点或者右孩子节点就变成了当前递归方法中的当前根节点,他们继续访问他们的孩子节点,无限套娃,直到遇到空节点,再层层返回


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求节点个数,其实最简单的就是采用前序遍历,每遍历一个节点,计数器size就加一,遍历完所有节点,size值就是节点的个数

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还有一种方法求节点个数,子问题思路,整棵树的节点=左子树节点+右子树节点,把每个节点和它的孩子节点,看成一个整体,大事化小

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遍历思路求叶子节点,叶子节点就是没有孩子的节点,故设置当遍历到左孩子和右孩子都为空的时候,叶子节点树+1

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另一种求叶子节点数的方法和子问题求节点数的方法类似,不过要设置一个条件,左孩子和右孩子都为空的时候才返回 1,来表示当前节点是一个叶子节点

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求第K层节点个数其只需要多设置一个参数k就好了,请看图解

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查找节点也是递归思想

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获取高度首先得知道一个递推公式

整棵树的高度 = 左子树高度 > 右子树高度?左子树高度 : 右子树高度

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完整源码如下:

public class BinaryTree {
    public TreeNode createTree() {
        TreeNode A = new TreeNode('A');
        TreeNode B = new TreeNode('B');
        TreeNode C = new TreeNode('C');
        TreeNode D = new TreeNode('D');
        TreeNode E = new TreeNode('E');
        TreeNode F = new TreeNode('F');
        TreeNode G = new TreeNode('G');
        TreeNode H = new TreeNode('H');
        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        B.right = E;
        C.left = F;
        C.right = G;
        E.right = H;
        return A;
    }

    // 前序遍历
    public void preOrderTraversal(TreeNode root){
        if (root==null){
            return;
        }
        System.out.print(root.value+" ");
        preOrderTraversal(root.left);
        preOrderTraversal(root.right);
    }

    // 中序遍历
    public void inOrderTraversal(TreeNode root){
        if (root==null){
            return;
        }
        inOrderTraversal(root.left);
        System.out.print(root.value+" ");
        inOrderTraversal(root.right);
    }

    // 后序遍历
    public void postOrderTraversal(TreeNode root){
        if (root==null){
            return;
        }
        postOrderTraversal(root.left);
        postOrderTraversal(root.right);
        System.out.print(root.value+" ");
    }

    // 遍历思路-求结点个数  前序遍历
    static int size=0;
    public void getSize1(TreeNode root){
        if (root==null){
            return;
        }
        size++;
        getSize1(root.left);
        getSize1(root.right);
    }

    // 子问题思路-求结点个数
    public int getSize2(TreeNode root){
        if (root==null){
            return 0;
        }
        return getSize2(root.left)+getSize2(root.right)+1;
    }

    // 遍历思路-求叶子结点个数
    static int leafSize = 0;
    public void getLeafSize1(TreeNode root){
        if(root == null) {
            return;
        }
        if(root.left == null && root.right == null) {
            leafSize++;
        }
        getLeafSize1(root.left);
        getLeafSize1(root.right);
    }

    // 子问题思路-求叶子结点个数
    public int getLeafSize2(TreeNode root){
        if(root == null) {
            return 0;
        }

        if(root.left == null && root.right == null) {
            return 1;
        }

        return getLeafSize2(root.left) + getLeafSize2(root.right);
    }

    // 子问题思路-求第 k 层结点个数
    public int getKLevelSize(TreeNode root,int k){
        if(root == null) {
            return 0;
        }
        if(k == 1) {
            return 1;
        }
        return getKLevelSize(root.left,k-1) + getKLevelSize(root.right,k-1);
    }

    // 查找 val 所在结点,没有找到返回 null
    // 按照 根 -> 左子树 -> 右子树的顺序进行查找
    // 一旦找到,立即返回,不需要继续在其他位置查找
    public TreeNode find(TreeNode root, char val) {
        if (root == null){
           return null;
       }
        if (root.value==val){
            return root;
        }
        TreeNode ret = find(root.left,val);
        if (ret!=null){
            return ret;
        }
        ret = find(root.right,val);
        if (ret!=null){
            return ret;
        }
        return null;
    }

    // 获取二叉树的高度
    public int getHeight(TreeNode root){
        if (root==null){
            return 0;
        }
        int leftHeight = getHeight(root.left);
        int rightHeight = getHeight(root.right);
        //return  (getHeight(root.left) >  getHeight(root.right) ? getHeight(root.left)+1 :  getHeight(root.right)+1);
        return  (leftHeight >  rightHeight ? leftHeight :  rightHeight)+1;
    }
}

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