所有的 DP 问题都可以简单得用 Recursion 的方式实现。这通常是最容易想到的思路。

问题是这种实现不够 efficient，存在 subproblem 被重复计算的情况。有两种解决这个问题的方法：

1. 很直观的，在 naive recursion 里加入 一个 save 的环境，把每个 subproblem 计算出的值存起来。这种方式也叫 Top-down approach。

2. Bottom-up approach: 上面的方法的思路是从大问题开始，计算的时候发现需要小问题的解，再立即去计算小问题，小问题计算完毕返回后利用小问题的解继续计算大问题。另一种思路是直接从小问题开始计算，利用各个小问题的结逐步计算出更大问题的解，直到最后原问题的解被计算出来。

此种思路的优点是可以不依赖递归，用 iterative approach 实现，执行效率上会快一些。但是这种方法需要对问题彻头彻尾的分析，才能够知道如何由小问题的解组成大问题的解，而且写出来的代码虽然执行效率高，不如第一种方法的代码容易理解。