例 4.5.37 的逆命题不成立, 即 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内单调, $\dps{\vlm{n}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n-1} f\sex{\frac{i}{n}}}$ 存在, $\dps{\int_0^1 f(x)\rd x}$ 可以不收敛.

解答: 取 $$\bex f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{1-x}\ra f'(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(1-x)^2}<0, \eex$$ 则 $$\bex \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n-1} f\sex{\frac{i}{n}} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n-1} \sex{\frac{n}{i}-\frac{n}{n-i}} =0, \eex$$ 但 $$\bex \int_0^1 f(x)\rd x=\int_0^1 \frac{1-2x}{x(1-x)}\rd x \eex$$ 不收敛.