设 $f(x)$ $\nearrow$ 连续 (当 $x\geq 0$ 时), $f(0)=0$, $a,b\geq 0$, 试证: $ab\leq af(a)+bf^{-1}(b)$.

证明: 由 Young 不等式, $$\bex ab\leq \int_0^a f(x)\rd x +\int_0^b f^{-1}(y)\rd y \leq af(a)+bf^{-1}(b). \eex$$