首先总的说一下二分搜索。如果区间具有二分性，这个二分性不仅仅是指区间是有序的，而是我们可以通过某一种性质将整个区间分成左区间和右区间。我们通过二分的方法去不断缩小查找的区间，最终让区间内没有元素，这个时候的我们就得到了分界的边界。

二分问题的难点在于边界的处理，整不好就死循环了，所以我们面对二分问题要一步一步分析，不要漏掉东西。

这里有两个原则大家要记住：

1）我们的最终目的就是让搜索区间没有一个元素；

2）left 的左面全都是<target的，right 的右面全都是>=target的（注意，这里的<,>=不是一定的，根据我们自己定的条件为主）。

这两个在这里不懂没关系，继续往下看就明白了。

一.全闭区间

即我们的查找区间的闭区间的，这个选择也影响到了我们的循环终止条件。我们的最终目的就是让区间没有一个元素，两面都是闭的，我们必须要 l<=r 。为什么？闭区间要想没有元素，要让 l 与 r 错开才行。

//闭区间
int n=nums.length;
int left=0;
int right=n-1;

while(left<=right){
    int mid=left+(right-left)/2;
    if(nums[mid]<target){
        left=mid+1;
    }else{
        right=mid-1;
    }
}

可能有的问题：

1.left和right的初始值为什么是这个？

left和right的初始值是根据我们区间的开闭写的。如果左面是开区间，left=-1，闭区间，left=0；右面同理，开区间，right=n，闭区间right=n-1。

2.那我们这么写的最终left和right分别指的下标是什么？

left 的左面全都是<target的，right 的右面全都是>=target的。所以说left指的是第一个>=target的元素，right指的是最后一个<target的元素。

3.为什么left要等于mid+1，为什么不能等于mid，right也是为什么不能等于mid？

还是刚刚的那句：left 的左面全都是<target的，right 的右面全都是>=target的。比如我们已经知道了 nums[mid]<target 了，所以说mid下标的元素一定<target，left的左面都是<target的，所以left直接等于mid+1就保证了left左面全都<target。right同理。

二.半闭半开

也是大家经常在网上看到的模板的类型，本人并不推荐这种写法，+1不+1的，可能在做什么模板题的时候觉得自我良好。但是二分是一种用于优化的算法，一般不会单独出现，在一些复杂的问题其实就很乱了。

上面是一些题外话，下面才是正题。

半闭半开有两种情况：左闭右开和左开右闭。

//左闭右开
int n=nums.length;
int left=0;
int right=n;

while(left<right){
    int mid=left+(right-left)/2;
    if(nums[mid]<target){
        left=mid+1;
    }else{
        right=mid;
    }
}
//左开右闭
int n=nums.length;
int left=-1;
int right=n-1;

while(left<right){
    int mid=left+(right-left+1)/2;
    if(nums[mid]<target){
        left=mid;
    }else{
        right=mid-1;
    }
}

可能有的问题：

1.为什么上面left和right两次不同？

开的那一部分是取不到的，所以说我们就要多“往外”一点，因为一开始要全部元素都在搜索区间里。

2.为什么两种情况left和right这个+1那个-1的？

我们在上一种全闭的情况时提到：left 的左面全都是<target的，right 的右面全都是>=target的。这里就拿左闭右开举例。右面是开区间，也就是说right指向的下标的元素不在我们的搜索区间内，所以说已经满足了right 的右面全都是>=target的这个条件。我们此时说mid下标的这个元素>=target的，如果是闭区间，right要-1，但是根据开区间的性质，我们是取不到这个mid下标的元素的，可以理解成无形的减了一，我们就没必要再-1了，直接让right=mid就行了。但是left是闭的，所以要+1才能保证left 的左面全都是<target的。

左开右闭同理。

3.为什么在左开右闭时求mid要+1？

这个也是开区间影响的。在最后只剩下两个元素的时候，我们求mid，mid一定是指向左面的下标的，但是左面是开区间，也就是说左面的元素不在搜索区间内，不在区间怎么能判断呢？所以我们mid要+1。

4.结束时，left指向什么，right指向什么？

最终left和right会重合，所以这里说left或right都一样。

唉？为什么会重合？

因为这是一开一闭。我们最用要的是：left 的左面全都是<target的，right 的右面全都是>=target的。以左闭右开为例。比如说left和right重合的时候在t下标处，t下标对于的元素是>=target的（这是一定的），左区间是必的，所以left左面全都是<target的成立，右区间是开的，取不到t，所以right 的右面全都是>=target的。

明白上面的我们就知道left和right会指向第一个>=target的元素。

左开右闭的left和right会指向最后一个<target的元素。

三.全开区间

这是本人最推荐的一种方法，这种方法没有了+1-1的问题，方便记忆。

int n=nums.length;
int left=-1;
int right=n;

while(left+1<right){
    int mid=left+(right-left)/2;
    if(nums[mid]>=target){
        right=mid;
    }else{
        left=mid;
    }
}

简洁明了。

可能有的问题：

1.循环条件为什么是left+1<right？

还是那句话：我们的最终目的就是让搜索区间没有一个元素。其实当left+1=right的时候区间内就没有一个元素了对不对，所以说这个时候就要终止了。

2.left为什么不用+1，right为什么不用-1？

大家如果看懂上面关于这方面的解释的话这个自己就明白了。一句话：因为这是全开的。

3.结束时，left指向什么，right指向什么？

left指向最后一个<target的元素，right指向第一个>=target的元素。