unity3d————点乘概念

2024-11-06 07:25:40

在Unity3D中，向量点乘（Dot Product）是一个非常重要的数学概念，它在游戏开发、物理模拟、光照计算等多个领域都有广泛应用。以下是对向量点乘的知识点、使用场景和注意事项的详细讲解：

向量点乘的知识点

  1. 定义与计算：

    • 向量点乘，也称向量的内积、数量积，是指两个向量对应位置上的值相乘后再求和的操作。其数学表达式为：a·b = x1x2 + y1y2 + z1z2，其中a = (x1, y1, z1)，b = (x2, y2, z2)。
    • 在Unity中，可以通过Vector3.Dot(Vector3 a, Vector3 b)方法直接计算两个向量的点乘结果。

  2. 几何意义：

    • 向量点乘的结果是一个标量（数值），表示一个向量在另一个向量方向上的投影长度与另一个向量模的乘积。
    • 点乘结果还可以解释为两个向量夹角的余弦值乘以两个向量模的乘积，即a·b = |a||b|cosθ，其中θ为两个向量之间的夹角。

  3. 性质：

    • 点乘满足交换律，即a·b = b·a。
    • 点乘的结果与向量的顺序无关，但与向量的方向有关。如果两个向量方向相同，则点乘结果为正；如果方向相反，则点乘结果为负；如果两个向量垂直，则点乘结果为0。

向量点乘的使用场景

  1. 判断方向：

    • 通过点乘的正负值可以判断两个向量的方向关系。如果点乘结果大于0，则两个向量大致指向相同的方向；如果等于0，则两个向量正交（即垂直）；如果小于0，则两个向量大致指向相反的方向。

  2. 计算夹角：

    • 可以利用点乘结果和向量的模来计算两个向量之间的夹角。具体公式为：θ = arccos(a·b / (|a||b|))。

  3. 优化性能：

    • 在游戏开发中，可以利用点乘来判断对象是否在摄像机的视野内，从而优化渲染性能。例如，通过计算对象朝向与摄像机朝向的点乘结果，可以判断对象是否在摄像机的前方视野内。

  4. 光照计算：

    • 在光照模型中，点乘常用于计算光照强度。例如，在Phong光照模型中，点乘用于计算表面法线与光线方向的夹角，从而影响漫反射光强。

  5. 物理模拟：

    • 在物理模拟中，点乘可用于计算力对物体产生的力矩等。

向量点乘的注意事项

  1. 向量归一化：

    • 在进行点乘计算之前，如果需要考虑向量的方向而不关心其大小，可以对向量进行归一化处理。归一化后的向量模长为1，但方向保持不变。

  2. 夹角范围：

    • 向量点乘的结果与向量的夹角余弦值成正比，因此当夹角为0°时（即两向量同向），点乘结果最大；当夹角为180°时（即两向量反向），点乘结果最小（为负值）；当夹角为90°时（即两向量垂直），点乘结果为0。

  3. 数据类型：

    • 在Unity中，进行点乘计算时要注意向量的数据类型。通常使用Vector3类型来表示三维向量，并确保参与运算的向量类型一致。

  4. 性能考虑：

    • 虽然点乘计算相对简单，但在处理大量向量或频繁进行点乘运算时，仍需要注意性能问题。可以通过优化算法、减少不必要的计算等方式来提高性能。

代码示例1： 

public class diancheng : MonoBehaviour
{
    public Transform target;    

    void Update()
    {
        Debug.DrawRay(this.transform.position, this.transform.forward, Color.red);
        Debug.DrawRay(this.transform.position, target.position - this.transform.position, Color.red);
        float dotResult = Vector3.Dot(this.transform.forward, target.position - this.transform.position);
        if (dotResult >= 0)
        {
            print("它在我前方");
        }
        else
        {
            print("它在我后方");
        }
    }
}

功能实现

  1. 绘制射线：
    • Debug.DrawRay(this.transform.position, this.transform.forward, Color.red);：从当前对象的位置出发，沿着其前方向（transform.forward）绘制一条红色的射线，用于可视化当前对象的前方。
    • Debug.DrawRay(this.transform.position, target.position - this.transform.position, Color.red);：从当前对象的位置出发，指向目标对象的位置（通过计算目标位置与当前位置的差值得到方向向量），也绘制一条红色的射线，用于可视化从当前对象到目标对象的连线。
  2. 计算点乘：
    • float dotResult = Vector3.Dot(this.transform.forward, target.position - this.transform.position);：计算当前对象的前方向向量与从当前对象指向目标对象的方向向量的点乘结果。
  3. 判断前后：
    • if (dotResult >= 0)：如果点乘结果大于或等于0，说明目标对象在当前对象的前方或正好在当前对象的正前方（夹角小于或等于90度）。
      • print("它在我前方");：在控制台输出“它在我前方”。
    • else：如果点乘结果小于0，说明目标对象在当前对象的后方（夹角大于90度且小于180度）。
      • print("它在我后方");：在控制台输出“它在我后方”。

注意事项

  • 射线可视化：Debug.DrawRay方法仅在Unity的Scene视图中可见，并且仅在运行游戏或播放模式时显示。它们对于调试和可视化非常有用。
  • 点乘的几何意义：点乘的结果与两个向量的夹角余弦值成正比。当两个向量同向时，点乘结果最大（为正）；当两个向量垂直时，点乘结果为0；当两个向量反向时，点乘结果最小（为负）。

结果图片：

 

代码示例2：  

public class diancheng : MonoBehaviour
{
    public Transform target;
    float dotResult;

    // Update is called once per frame
    void Update()
    {
        
        Debug.DrawRay(this.transform.position, this.transform.forward, Color.red);
        Debug.DrawRay(this.transform.position, target.position - this.transform.position, Color.red);
   
        //步骤
        //1.用单位向量算出点乘结果
        dotResult = Vector3.Dot(this.transform.forward, (target.position - this.transform.position).normalized);
        //2.用反三角函数得出角度
        print("角度-" + Mathf.Acos(dotResult) * Mathf.Rad2Deg);

        //Vector3中提供了 得到两个向量之间夹角的方法 
        print("角度2-" + Vector3.Angle(this.transform.forward, target.position - this.transform.position));
    }
}
  1. 计算点乘：
    • dotResult = Vector3.Dot(this.transform.forward, (target.position - this.transform.position).normalized);
      • 这行代码计算了当前对象的前方向向量（this.transform.forward）与从当前对象指向目标对象的方向向量的点乘。
      • 方向向量是通过计算目标位置与当前位置的差值得到的，并且使用了.normalized方法将其归一化（即长度设为1）。
      • 点乘的结果存储在dotResult变量中，它的值在-1到1之间，表示了两个向量之间的相似度（或夹角的余弦值）。
  2. 使用反三角函数计算夹角：
    • print("角度-" + Mathf.Acos(dotResult) * Mathf.Rad2Deg);
      • 使用Mathf.Acos函数计算dotResult的反余弦值，得到的是弧度值。
      • 乘以Mathf.Rad2Deg将弧度转换为度数。
      • 使用print函数在Unity的控制台输出计算得到的角度。
  3. 使用Vector3.Angle直接计算夹角：
    • print("角度2-" + Vector3.Angle(this.transform.forward, target.position - this.transform.position));
      • Vector3.Angle是Unity提供的一个静态方法，它直接计算并返回两个向量之间的夹角（以度数为单位）。
      • 这里将当前对象的前方向向量和从当前对象指向目标对象的方向向量作为参数传递给Vector3.Angle方法。
      • 使用print函数在Unity的控制台输出这个方法返回的角度。

注意事项

  • 归一化：在计算点乘之前对目标方向向量进行归一化是必要的，因为点乘的结果与向量的长度无关，只与它们的方向有关。
  • 角度范围：两种方法计算出的角度都在0到180度之间，因为余弦函数和Vector3.Angle方法都是基于这个范围来计算的。
  • 性能：虽然Update方法中的计算相对简单，但在每帧都进行这样的计算可能会对性能产生一定影响，特别是在有大量对象需要检测的情况下。可以考虑使用优化技术，如减少更新频率或使用空间划分技术。

结果图片：  

 

结果一致 

为什么需要归一化？

  1. 点乘的物理意义：
    点乘（也称为内积）的物理意义是两个向量的模（长度）与它们之间夹角的余弦值的乘积。公式为：

    A · B = |A| * |B| * cos(θ)

    其中A和B是向量，|A|和|B|是它们的模，θ是它们之间的夹角。

  2. 归一化的作用：
    归一化一个向量意味着将它的模设置为1，但保持它的方向不变。这样，当您计算点乘时，结果就只与两个向量的方向有关，而与它们的长度无关。

在您的代码中的情况

在您的代码中，您计算了点乘：

dotResult = Vector3.Dot(this.transform.forward, (target.position - this.transform.position).normalized);

这里，(target.position - this.transform.position).normalized是将从当前对象到目标对象的方向向量归一化。这样做是为了确保点乘的结果只反映两个向量的方向差异，而不受它们之间距离的影响。

是否总是需要归一化？

  • 计算夹角时：如果您想计算两个向量之间的夹角，并且使用Mathf.Acos来从点乘结果中得到角度，那么您需要对其中一个向量进行归一化（通常是方向向量），因为Mathf.Acos期望的输入是余弦值，而余弦值是无单位的。

  • 其他情况：如果您在计算中需要考虑向量的长度（比如计算力、速度等物理量时），那么您可能不需要归一化向量。

Vector3.Angle方法

另一方面，当您使用Vector3.Angle方法时：

print("角度2-" + Vector3.Angle(this.transform.forward, target.position - this.transform.position));

您不需要手动归一化向量，因为Vector3.Angle方法内部会自动处理这个问题。它计算的是两个向量之间的夹角，无论它们的长度如何。

结论

在您的代码中，如果您想使用Mathf.Acos来计算夹角，那么您需要对其中一个向量（通常是表示方向的向量）进行归一化。而如果您使用Vector3.Angle，则不需要手动归一化向量。

 

 

 

 

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