考试要求
1、理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.
2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法.
3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.
4、理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一菜布尼茨公式.
5、了解反常积分的概念，会计算反常积分.
6、掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数的平均值.
基本方法
微元法 设所求的量
F
F
F依赖于某区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]以及在此区间上定义的某函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)，且满足：
1、当
f
(
x
)
f(x)
f(x)为常数
C
C
C是，
F
=
C
⋅
(
b
−
a
)
F=C\cdot(b-a)
F=C⋅(b−a);
2、当将区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]分为一些
△
x
\triangle x
△x之和时，量
F
F
F也被分割为相应的一些
△
F
\triangle F
△F之和，即
F
F
F具有可加性。
将
f
(
x
)
f(x)
f(x)在小区间
[
x
,
x
+
△
x
]
[x,x+\triangle x]
[x,x+△x]上视为常量，于是
△
F
≈
f
(
x
)
△
x
(1)
\triangle F \approx f(x)\triangle x \quad \quad \quad \tag{1}
△F≈f(x)△x(1)
近似严格说是：
△
F
=
f
(
x
)
△
x
+
o
(
△
x
)
(2)
\triangle F = f(x)\triangle x+o(\triangle x)\quad \quad \quad \tag{2}
△F=f(x)△x+o(△x)(2)
于是
d
F
=
f
(
x
)
d
x
(3)
d F = f(x)dx \tag{3}
dF=f(x)dx(3)
F
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
F=\int_a^b f(x)dx
F=∫abf(x)dx
公式(1)或(2)常称为取微元，(3)称为
F
F
F的微元，取好微元，再自
a
到
b
a到b
a到b积分便得
F
F
F
重要几何公式与物理应用
平面图形面积
1、曲线
y
=
y
2
(
x
)
与
y
=
y
1
(
x
)
(
y
2
(
x
)
≥
y
1
(
x
)
)
及
x
=
a
,
x
=
b
围成的平面图形的面积
y=y_2(x)与y=y_1(x)(y_2(x) \ge y_1(x))及x=a,x=b围成的平面图形的面积
y=y2(x)与y=y1(x)(y2(x)≥y1(x))及x=a,x=b围成的平面图形的面积：
S
=
∫
a
b
y
2
(
x
)
−
y
1
(
x
)
d
x
S=\int_a^by_2(x)-y_1(x)dx
S=∫aby2(x)−y1(x)dx练习1：平面区域
D
D
D由曲线
y
=
x
2
及
x
=
y
2
y=x^2及x=y^2
y=x2及x=y2围成，求其面积
S
S
S
解： { y = x 2 x = y 2 解出两点 ( 0 , 0 ) 及 ( 1 , 1 ) 。故： S = ∫ 0 1 ( x − x 2 ) d x = 1 3 \begin{cases} y=x^2 \\ \quad \\ x=y^2\end{cases}解出两点(0,0)及(1,1)。故：\\ \quad \\ S=\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)dx=\frac{1}{3} ⎩ ⎨ ⎧y=x2x=y2解出两点(0,0)及(1,1)。故：S=∫01(x−x2)dx=31
2、曲线
x
=
x
2
(
y
)
与
x
=
x
1
(
y
)
(
x
2
(
y
)
≥
x
1
(
y
)
)
及
y
=
c
,
y
=
d
围成的平面图形的面积
x=x_2(y)与x=x_1(y)(x_2(y) \ge x_1(y))及y=c,y=d围成的平面图形的面积
x=x2(y)与x=x1(y)(x2(y)≥x1(y))及y=c,y=d围成的平面图形的面积：
S
=
∫
c
d
x
2
(
y
)
−
x
1
(
y
)
d
y
S=\int_c^dx_2(y)-x_1(y)dy
S=∫cdx2(y)−x1(y)dy
3、极坐标曲线
r
=
r
(
θ
)
r=r(\theta)
r=r(θ)介于两射线
θ
=
α
与
θ
=
β
(
0
<
β
−
α
≤
2
π
)
\theta=\alpha与\theta=\beta(0<\beta-\alpha\le 2\pi)
θ=α与θ=β(0<β−α≤2π)之间的曲边扇形的面积：
S
=
1
2
∫
α
β
r
2
(
θ
)
d
θ
S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)d\theta
S=21∫αβr2(θ)dθ练习1：求由极坐标方程给出的曲线
r
2
=
2
a
2
cos
2
θ
r^2=2a^2\cos 2\theta
r2=2a2cos2θ围成区域的面积
解： 极坐标方程由曲线 r = r ( θ ) ( α ≤ θ ≤ β ) 围成的区域面积 S 可以写成： S = 1 2 ∫ α β r 2 ( θ ) d θ 在本题中，区域图形为： S