卡码网题目链接（ACM模式）(opens new window)

题目描述

有向树指满足以下条件的有向图。该树只有一个根节点，所有其他节点都是该根节点的后继。该树除了根节点之外的每一个节点都有且只有一个父节点，而根节点没有父节点。有向树拥有 n 个节点和 n - 1 条边。

输入一个有向图，该图由一个有着 n 个节点（节点编号 从 1 到 n），n 条边，请返回一条可以删除的边，使得删除该条边之后该有向图可以被当作一颗有向树。

输入描述

第一行输入一个整数 N，表示有向图中节点和边的个数。

后续 N 行，每行输入两个整数 s 和 t，代表 s 节点有一条连接 t 节点的单向边

输出描述

输出一条可以删除的边，若有多条边可以删除，请输出标准输入中最后出现的一条边。

输入示例

3
1 2
1 3
2 3

输出示例

2 3

提示信息

​​

在删除 2 3 后有向图可以变为一棵合法的有向树，所以输出 2 3

数据范围：

1 <= N <= 1000.

#思路

本题与 108.冗余连接 类似，但本题是一个有向图，有向图相对要复杂一些。

本题的本质是 ：有一个有向图，是由一颗有向树 + 一条有向边组成的 （所以此时这个图就不能称之为有向树），现在让我们找到那条边 把这条边删了，让这个图恢复为有向树。

还有“若有多条边可以删除，请输出标准输入中最后出现的一条边”，这说明在两条边都可以删除的情况下，要删顺序靠后的边！

我们来想一下 有向树的性质，如果是有向树的话，只有根节点入度为0，其他节点入度都为1（因为该树除了根节点之外的每一个节点都有且只有一个父节点，而根节点没有父节点）。

所以情况一：如果我们找到入度为2的点，那么删一条指向该节点的边就行了。

如图：

​​

找到了节点3 的入度为2，删 1 -> 3 或者 2 -> 3 。选择删顺序靠后便可。

但 入度为2 还有一种情况，情况二，只能删特定的一条边，如图：

​​

节点3 的入度为 2，但在删除边的时候，只能删 这条边（节点1 -> 节点3），如果删这条边（节点4 -> 节点3），那么删后本图也不是有向树了（因为找不到根节点）。

综上，如果发现入度为2的节点，我们需要判断 删除哪一条边，删除后本图能成为有向树。如果是删哪个都可以，优先删顺序靠后的边。

情况三： 如果没有入度为2的点，说明 图中有环了（注意是有向环）。

如图：

​​

对于情况二，删掉构成环的边就可以了。

#写代码

把每条边记录下来，并统计节点入度：

    int s, t;
vector<vector<int>> edges;
cin >> n;
vector<int> inDegree(n + 1, 0); // 记录节点入度
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> s >> t;
inDegree[t]++;
edges.push_back({s, t});
}

前两种入度为2的情况，一定是删除指向入度为2的节点的两条边其中的一条，如果删了一条，判断这个图是一个树，那么这条边就是答案。

同时注意要从后向前遍历，因为如果两条边删哪一条都可以成为树，就删最后那一条。

代码如下：

vector<int> vec; // 记录入度为2的边（如果有的话就两条边）
// 找入度为2的节点所对应的边，注意要倒序，因为优先删除最后出现的一条边
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
if (inDegree[edges[i][1]] == 2) {
vec.push_back(i);
}
}
if (vec.size() > 0) {
// 放在vec里的边已经按照倒叙放的，所以这里就优先删vec[0]这条边
if (isTreeAfterRemoveEdge(edges, vec[0])) {
cout << edges[vec[0]][0] << " " << edges[vec[0]][1];
} else {
cout << edges[vec[1]][0] << " " << edges[vec[1]][1];
}
return 0;
}

再来看情况三，明确没有入度为2的情况，那么一定有向环，找到构成环的边就是要删除的边。

可以定义一个函数，代码如下：

// 在有向图里找到删除的那条边，使其变成树 
void getRemoveEdge(const vector<vector<int>>& edges)

大家应该知道了，我们要解决本题要实现两个最为关键的函数：

• ​isTreeAfterRemoveEdge()​ 判断删一个边之后是不是有向树
• ​getRemoveEdge()​ 确定图中一定有了有向环，那么要找到需要删除的那条边

此时就用到并查集了。

如果还不了解并查集，可以看这里：并查集理论基础(opens new window)

​isTreeAfterRemoveEdge()​ 判断删一个边之后是不是有向树： 将所有边的两端节点分别加入并查集，遇到要 要删除的边则跳过，如果遇到即将加入并查集的边的两端节点 本来就在并查集了，说明构成了环。

如果顺利将所有边的两端节点（除了要删除的边）加入了并查集，则说明 删除该条边 还是一个有向树

​getRemoveEdge()​确定图中一定有了有向环，那么要找到需要删除的那条边： 将所有边的两端节点分别加入并查集，如果遇到即将加入并查集的边的两端节点 本来就在并查集了，说明构成了环。

本题C++代码如下：（详细注释了）

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int n;
vector<int> father (1001, 0);
// 并查集初始化
void init() {
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
father[i] = i;
}
}
// 并查集里寻根的过程
int find(int u) {
return u == father[u] ? u : father[u] = find(father[u]);
}
// 将v->u 这条边加入并查集
void join(int u, int v) {
u = find(u);
v = find(v);
if (u == v) return ;
father[v] = u;
}
// 判断 u 和 v是否找到同一个根
bool same(int u, int v) {
u = find(u);
v = find(v);
return u == v;
}

// 在有向图里找到删除的那条边，使其变成树
void getRemoveEdge(const vector<vector<int>>& edges) {
init(); // 初始化并查集
for (int i = 0; i < n; i++) { // 遍历所有的边
if (same(edges[i][0], edges[i][1])) { // 构成有向环了，就是要删除的边
cout << edges[i][0] << " " << edges[i][1];
return;
} else {
join(edges[i][0], edges[i][1]);
}
}
}

// 删一条边之后判断是不是树
bool isTreeAfterRemoveEdge(const vector<vector<int>>& edges, int deleteEdge) {
init(); // 初始化并查集
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (i == deleteEdge) continue;
if (same(edges[i][0], edges[i][1])) { // 构成有向环了，一定不是树
return false;
}
join(edges[i][0], edges[i][1]);
}
return true;
}

int main() {
int s, t;
vector<vector<int>> edges;
cin >> n;
vector<int> inDegree(n + 1, 0); // 记录节点入度
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> s >> t;
inDegree[t]++;
edges.push_back({s, t});
}

vector<int> vec; // 记录入度为2的边（如果有的话就两条边）
// 找入度为2的节点所对应的边，注意要倒序，因为优先删除最后出现的一条边
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
if (inDegree[edges[i][1]] == 2) {
vec.push_back(i);
}
}
if (vec.size() > 0) {
// 放在vec里的边已经按照倒叙放的，所以这里就优先删vec[0]这条边
if (isTreeAfterRemoveEdge(edges, vec[0])) {
cout << edges[vec[0]][0] << " " << edges[vec[0]][1];
} else {
cout << edges[vec[1]][0] << " " << edges[vec[1]][1];
}
return 0;
}

// 处理情况三
// 明确没有入度为2的情况，那么一定有有向环，找到构成环的边返回就可以了
getRemoveEdge(edges);
}