前言

• 本文基础知识部分来自于b站：分享笔记的好人儿的思维导图与王道考研课程，感谢大佬的开源精神，习题来自老师划的重点以及考研真题。
• 此前我尝试了完全使用Python或是结合大语言模型对考研真题进行数据清洗与可视化分析，本人技术有限，最终数据清洗结果不够理想，相关****文章便没有发出。

（考研真题待更新）

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第三章 栈、队列和数组

栈

栈的概念

• 

  • 限定仅在一端进行插入和删除操作的线性表，又称后进先出（LIFO）的线性表；
    允许插入删除的那一端叫栈顶（Top），不允许插入和删除的一端叫栈底（Bottom）

    • 特殊的线性表，后进先出（LIFO）

  • 注意：n个不同元素进栈，出栈元素不同排序个数为（n个元素能构成多少种不同的二叉树）

  • 
    

栈的实现

顺序栈

• 栈的顺序存储结构

  • 顺序栈的基本结构

    • 

      • 利用一组地址连续的存储单元存放自栈底到栈顶的数据元素，同时设一个栈顶指针（Top）

      • 基础结构

        • 栈顶指针，初始值：S.top = -1（若有元素，则指向栈顶元素S.data[S.top]）

        • 进栈：栈不满时，栈指针先+1，再送值到栈顶

          • 出栈：栈非空时，先取栈顶元素值，再将栈顶指针-1

        • 栈空条件：S.top == -1

          • 栈满条件：S.top == MaxSize-1

            • 栈长：S.top + 1

  • 顺序栈的基本操作

    • 初始化、判栈空、进栈、出栈、读栈顶元素（本质就是操作顺序表）

S.top == 0

共享栈

• 共享栈

  • 
    

  • 概念

    • 让两个顺序栈共享一个一维数组空间，将两个栈的栈底分别设置在共享空间的两端，两个栈顶向共享空间的中间延伸

  • 原则

    • 栈空判断：top0 = -1时0号栈为空，top1 = MaxSize时1号栈为空

    • 栈满判断：两个栈顶指针相邻（即top1-top0 == 1）时

    • 其他操作和顺序栈类似
      

链栈

• 栈的链式存储结构

• 

• 采用单链表实现，并规定所有操作都是在单链表的表头进行
  
  
  

• 优点

  • 便于多个栈共享存储空间和提高效率，不存在栈满上溢的情况

队列

队列的概念

• 
  
  

  • 是一种操作受限的线性表，只允许在表的一端进行插入（队尾），另一端进行删除（队头）

    • 特殊的线性表，先进先出（FIFO）

  • 队头：删除元素的一端

    • 队尾：插入元素的一端
      

队列的实现

队列的顺序存储结构

• 队列的顺序存储结构

  • 

    • 分配一块连续的存储单元存放队列元素，设两个指针

      • 队头指针front：指向队头元素
        队尾指针rear：指向队尾元素的下一个元素

    • 基础结构

      • 初始状态（队空条件）：Q.front == Q.rear == 0
        

      • 进队操作：队不满时，先送值到队尾元素，再将队尾指针+1
        

      • 出队操作：队不空时，先取队头元素值，再将队头指针+1

    • 假溢出：在data数组依然存在空位置时，却已经满足队列满的条件（出栈的元素位置空闲）

  • 循环队列(解决假溢出问题)

    • 
      
      

      • 概念

        • 把存储队列元素的表逻辑上视为一个环

      • 基本操作

        • 初始时：Q.front = Q.rear = 0

        • 队头指针+1：Q.front = (Q.front + 1) % MaxSize

        • 队尾指针+1：Q.rear = (Q.rear + 1) % MaxSize

        • 队列长度：(Q.rear + MaxSize - Q.front) % MaxSize

        • 队空：Q.front == Q.rear

      • 队满判断

        • 牺牲一个单元来区分队空和队满，即队头指针在队尾指针的下一位置作为队满标志

          • 队满条件：(Q.rear + 1) % MaxSize == Q.front

        • 类型中增设表示元素个数的数据成员（int size）

          • 队空：Q.size == 0

          • 队满：Q.size == MaxSize

        • 类型中增设tag数据成员，以区分是队满还是队空

          • tag == 0时，若因删除导致Q.front == Q.rear，则队空

          • tag == 1时，若因插入导致Q.front == Q.rear，则队满

rear指向队尾元素

牺牲一个存储单元

1. front在rear后两个位置，队满
2. front在rear后一个位置，队满
   

队列的链式存储结构

• 队列的链式存储结构

  • 

    • 队列的链式表示时一个同时带有队头指针和队尾指针的单链表

    • 头指针指向队头结点，队尾指针指向队尾结点，当Q.front == NULL且Q.rear == NULL时，队列为空
      

    • 不存在队列满且溢出问题，适合于数据元素变动较大的情况

小结

双端队列（挺喜欢考的考点）

• 概念

  • 双端队列是指允许两端都可以进行入队和出队操作的队列，其逻辑结构仍是线性表

• 分类

  • 输出受限的双端队列：允许在一端进行插入和删除，但在另一端只允许插入的双端队列

  • 输入受限的双端队列：允许在一端进行插入和删除，但在另一端只允许删除的双端队列

栈和队列有相同逻辑结构，线性结构

合适与不合适做链队的链表，关键看能不能获取到首尾指针（带首尾的非循环或带尾的循环）

• 单链表实现队列，队头只能设置在链头（关注删除操作，需找到新队头）

栈和队列的应用

栈的应用

括号

• 括号匹配
  
  

  • 步骤

    • 初始设置一个空栈，顺序读入括号

    • 若右括号，则从栈中弹出一个符号，判断是否匹配

    • 若左括号，则压入栈中

  • 失败条件

    • 不匹配、结束后栈仍有元素、遇右括号栈为空

表达式求值

中缀表达式转后缀表达式

• 从左到右遍历各元素

  • 若遇到操作数：直接加入后缀表达式

  • 遇到界限符：“(”直接入栈；“)”则依次弹出栈内运算符并加入后缀表达式，直到弹出“(”为止

  • 遇到运算符：依次弹出栈中优先级高于或等于当前运算符的所有运算符，并加入后缀表达式，若碰到“(”或栈空则停止，之后再把运算符入栈
    
    
    

后缀表达式的计算

• 从左向右扫描元素，若扫描到操作数则压入栈，若扫描到运算符则弹出两个栈顶元素，执行运算将结构压回栈中
  

中缀表达式转前缀表达式

• 同理但从右到左遍历，“(”和“)”与中缀转后缀的功能相反，最后结果依次翻转

前缀表达式的计算

• 从右向左扫描元素，若扫描到操作数则压入栈，若扫描到运算符则弹出两个栈顶元素，执行运算将结构压回栈中

中缀表达式的计算（用栈实现）

• 初始化操作数栈和运算符栈

• 若扫描到操作数，压入操作数栈；若扫描到运算符或界限符，按“中缀转后缀”的逻辑压入运算符栈（可能弹出运算符，若弹出则将栈顶的两个操作数运算压回操作数栈）
  

其他

• 其他：数制转换、八皇后问题、行编辑程序、函数调用、迷宫求解等

小结

递归

• 概念

  • 若对象部分地包含自己，或用自己给自己定义，则称这个对象是递归的

  • 若一个过程直接或间接的调用自己，则这个过程是递归的

• 分治的思想：必备条件

  • 能将一个问题转变成一个新问题，且两者的解法相同或类似，不同的仅是对象，且对象有变化规律

  • 可以通过上述转化将问题化简

  • 必须有一个明确的递归出口（递归边界）

• 形式

  • 
    
    
    
    
    

小结

队列的应用

• 脱机打印输出、解决多用户引起的资源竞争问题、广度优先遍历、网络电文传输按时间先后顺序依次进行等等

数组和特殊矩阵

本节的题目计算都可以不记公式，直接代入推导

数组

• 概念

  • 数组是由n个相同类型的数据元素构成的有限序列，每个元素在n个线性关系中的序号称为元素下标，下标取值范围称为数组的维界

• 与线性表的关系

  • 数组是线性表的推广，一维数组可视为一个线性表，二维数组可以视为其元素也是定长线性表的线性表

• 数组的存储结构

  • 数组的所有元素在内存中占用一段连续的存储空间

  • 一维数组

    • 存储结构关系式：LOC(ai) = LOC(a0) + i × L （0 <= i < n，L是每个元素所占存储单元）

  • 多维数组

    • 按行优先（一行行存储）

      • 存储结构关系式：LOC(ai,j) = LOC(a0,0) + [i × (h1 + l) + j] × L （二维数组：h1 × h2）

    • 按列优先（一列列存储）

      • 存储结构关系式：LOC(ai,j) = LOC(a0,0) + [j × (h2 + l) + i] × L （二维数组：h1 × h2）

特殊矩阵

• 指具有许多相同矩阵元素或0元素，并且这些相同矩阵元素或0元素的分布有一定规律

• 压缩矩阵

  • 找出特殊矩阵中值相同的矩阵元素的分布规律，把那些呈现分布规律的、多个值相同的元素只分配一个存储空间，对0元素不分配空间

• 对称矩阵

  • 概念

    • 若对一个n阶方阵中的任意元素a(i, j) = a(j, i)，则称其为对称矩阵，可放在一维数组B[n(n+1)/2]中
      
      

  • 存储位置计算公式

• 三角矩阵

  • 概念

    • （上/下）三角区的所有元素均为同一常量，其可压缩为存储完（下/上）三角区和主对角线上元素 + 存储常量一次

  • （下/上）三角矩阵元素下标对应关系

    • 下三角矩阵
      
      

    • 上三角矩阵

  • （下/上）三角矩阵在内存中的压缩存储形式

    • 下三角矩阵

    • 上三角矩阵

• 三对角矩阵

  • 
    
    

    • 概念

      • 又称带状矩阵，除以对角线为中心的3条对角线区域外都为0

    • 压缩存储：将元素按行优先方式存放在一维数组B中，且a(i, j)与B[n]对应关系为：k = 2i + j - 3

• 稀疏矩阵

  • 概念

    • 矩阵中非0元素的个数t，相对矩阵元素的个数s来说非常少，即s>>t

  • 存储方式

    • 三元组（行标、列标、值）
      

    • 十字链表法

  • 稀疏矩阵压缩存储后失去了随机存取的特性
    
    

补充代码

栈（数组模拟）

• 对数组简单操作，略

（循环）队列（数组模拟）

• 循环队列注意点：队满与队空条件需要有区别，即需要一个额外的元素空间判断队空与队满

void push_q(int x){
    if((tail + N + 1) % N != head){  //判断队满
        q[tail] = x;
        tail = (N + tail + 1) % N;  //队尾插入一个数据注意指针移动需要%N，对头类似：head=(N+head+1)%N;
    }
}
bool empty(){  //判断是否为空
    return head == tail;
}
void pop_q(){  //对头删去一个元素
    if(!empty())
        head = (N + head + 1) % N;
}
void query(){  //查询对头元素
    if(!empty())
        printf("%d\n",q[head]);
}

单调栈

• 应用场景：求某个数左边第一个小于他的数；
  思路：在每次暴力从for循环的当前值，向左遍历找第一个小于数的O(n2)情况下进行优化；
  在向左遍历过程中删去无用的数（左边小于，但值大于），利用栈形成单调增大的序列，所求数即为栈顶；

•   for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d",&v);
        while(top&&s[top-1]>=v) top--;           //去除比当前数大但在左边的数
        if(!top) printf("-1 ");
        else printf("%d ",s[top-1]);                    //输出栈顶元素，即第一个小于当前数的数
        s[top++]=v;                                          //当前数压入栈中
    }
  

单调队列

• 应用场景：滑动窗口中最小值，也可优化背包问题；
  思路：同理通过删去无用的数进行优化；
  （求滑动窗口中最小值）队列头保留最小的数，遍历数组，若队尾数大于遍历的数则不断删去队尾（同理无用的数），使得队列单调增，在遍历过程中，不断更新队头使得不超过滑动窗口。

• for(int i=0;i<n;i++){
     if(l<r&&i-q[l]>len-1) l++;                       //移动对头使不超过滑动窗口，为了实现，q数组存下标
     while(l<r&&v[q[r-1]]>=v[i]) r--;              //弹出队尾无用数，因为会在队尾弹出不满足先进先出原则，事实上也不能叫单调队列
     q[r++]=i;                                                  //每次都入队一个
     if(i>=len-1) printf("%d ",v[q[l]]);
  }
  

考研真题

408 - 2023

（考研真题待更新）