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一、谱范数及其计算方法

见我的这篇blog 谱范数求解方法-奇异值分解&幂迭代法

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二、谱归一化提出背景

谱归一化由论文《Spectral Normalization For Generative Adversarial Networks》论文链接 提出。

原生 GAN 的目标函数等价于优化生成数据的分布和真实数据的分布之间的 J-S 散度 (Jensen–Shannon Divergence)。
而由于二者间几乎不可能有不可忽略的重叠，所以无论它们相距多远JS散度都是常数log2，最终导致生成器的梯度（近似）为0，梯度消失。
也就是说判别器训练越好，生成器梯度消失越严重。

WGAN使用性质优良的 Wasserstein distance 代替原生 GAN 中的 J-S 散度。 然后利用KR对偶原理将 Wasserstein distance的求解问题转换为求解最优的利普希茨连续函数的问题。 为了使得判别器 D 满足利普希茨连续性，作者使用“梯度裁剪”将过大的参数直接裁剪到一个阈值以下。

“梯度裁剪”技术从每层神经网络的参数矩阵的谱范数角度，引入利普希茨连续性约束，使神经网络对输入扰动具有较好的非敏感性，从而使训练过程更稳定，更容易收敛。(深度学习模型存在“对抗攻击样本”，比如图片只改变一个像素就给出完全不一样的分类结果，这就是模型对输入过于敏感的案例。)

我们可以这样理解：局部最小点附近如果是平坦（flatness）的话（斜率有约束），那么其泛化的性能将较好，反之，若是不平坦（sharpness）的话，稍微一点变动，将产生较大变化，则其泛化性能就不好，也就不稳定。

Spectral Norm使用一种更优雅的方式使得判别器 D 满足利普希茨连续性，限制了函数变化的剧烈程度，从而使模型更稳定。

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三、Lipschitz 连续性

Lipschitz 条件限制的是函数变化的剧烈程度，即函数的最大梯度。

K-Lipschitz表示函数的最大梯度为K，K称为Lipschitz constant（Lipschitz常量）。例如 y = sinx的最大斜率为1，所以它是是 1-Lipschitz的。

那么：

关键定理： 对矩阵A除以其谱范数可以使其具有 1-Lipschitz continuity（证明）。

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四、谱归一化

对GAN做Spectral Norm，实际就是要使得判别器D满足1-Lipschitz条件。

注意:
判别器 D 使用了 Spectral norm 之后，就不能使用 BatchNorm (或者其它 Norm) 了。 原因也很简单，因为 Batch norm 的“除方差”和“乘以缩放因子”这两个操作很明显会破坏判别器的 Lipschitz 连续性。

参考 :
Spectral Normalization 谱归一化
令人拍案叫绝的Wasserstein GAN
Thanks