1、设 $f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ 是整系数首一多项式, 满足: $|a_0|$ 是素数且 $$|a_0|>1+\sum_{i=1}^{n-1}|a_i|,$$ 证明: $f(x)$ 是有理数域上的不可约多项式.

注  上述不可约多项式的判别法称为 Osada 定理.

2、(1) 设 $\varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, $V$ 有一个直和分解: $$V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_m,$$ 其中每个 $V_i$ 都是 $\varphi$-不变子空间. 设 $\lambda_0$ 是 $\varphi$ 的特征值, $V_0=\{v\in V\mid \varphi(v)=\lambda_0v\}$ 为对应的特征子空间, $V_{i,0}=\{v\in V_i\mid \varphi(v)=\lambda_0v\}$ 为 $V_i$ 的子空间 ($i=1,\cdots,m$). 证明: $$V_0=V_{1,0}\oplus V_{2,0}\oplus\cdots\oplus V_{m,0}.$$

(2) 设 $n$ 阶方阵 $A=\mathrm{diag}\{A_1,A_2,\cdots,A_m\}$ 为分块对角阵, 其中 $A_i$ 是 $n_i$ 阶方阵. 任取 $A_i$ 的特征值 $\lambda_i$ 和特征向量 $0\neq\alpha_i\in\mathbb{C}^{n_i}$, 证明: 可在 $\alpha_i$ 的上下添加适当多的零, 得到非零向量 $\widetilde{\alpha}_i\in\mathbb{C}^n$, 使得 $A\widetilde{\alpha}_i=\lambda_i\widetilde{\alpha}_i$, 即 $\widetilde{\alpha}_i$ 是 $A$ 关于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量, 称为 $\alpha_i$ 的延拓.

(3) 假设同 (2), 任取 $A$ 的特征值 $\lambda_0$, 并设 $\lambda_0$ 是 $A_{i_1},\cdots,A_{i_r}$ 的特征值, 但不是其他 $A_j\,(1\leq j\leq m,\,j\neq i_1,\cdots,i_r)$ 的特征值, 证明: $A$ 关于特征值 $\lambda_0$ 的特征子空间的一组基可取为 $A_{i_k}\,(k=1,\cdots,r)$ 关于特征值 $\lambda_0$ 的特征子空间的一组基的延拓的并集.

3、(1) $n$ 元非零复系数多项式 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的零点集 $Z(f)=\{(a_1,a_2,\cdots,a_n)\in\mathbb{C}^n\mid f(a_1,a_2,\cdots,a_n)=0\}$ 称为 $\mathbb{C}^n$ 中的一个超曲面. 证明: 若把线性同构 $M_n(\mathbb{C})\cong\mathbb{C}^{n^2}$ 看成是等同, 则所有不可对角化的 $n$ 阶复矩阵包含在 $\mathbb{C}^{n^2}$ 的一个超曲面中.

(2) 设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶复矩阵, 证明: 存在 $n$ 阶矩阵 $A(t)=(a_{ij}(t))$, 其中 $a_{ij}(t)$ 是关于 $t$ 的多项式, 使得 $A(0)=A$, 即 $a_{ij}(0)=a_{ij}$ 对任意的 $i,j$ 都成立, 并且当 $0<t\ll 1$ 时, $A(t)$ 都是可对角化的矩阵.

注  上述结论告诉我们: 可对角化的矩阵“远远”比不可对角化的矩阵来的多, 并且可取到一列可对角化的矩阵“逼近”任一不可对角化的矩阵 (想象一下它们的几何意义).

4、设 $n$ 阶方阵 $A$ 适合多项式 $f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0$, 其中 $|a_m|>\sum\limits_{i=0}^{m-1}|a_i|$. 证明: 矩阵方程 $2X+AX=XA^2$ 只有零解.

5、设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶复矩阵, 证明: 存在正数 $\delta$, 使得对任意的 $s\in(0,\delta)$, 下列矩阵均可对角化: $$A(s)=\begin{pmatrix} a_{11}+s & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\  a_{21} & a_{22}+s^2 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}+s^n \end{pmatrix}.$$

注  本题由楼红卫教授提供.

6、(1) 设 $A(\lambda)=(a_{ij}(\lambda))$ 是 $n$ 阶 $\lambda$-矩阵, 则其行列式定义为 $$|A(\lambda)|=\sum_{(i_1,i_2,\cdots,i_n)\in S_n}(-1)^{N(i_1,i_2,\cdots,i_n)}a_{i_11}(\lambda)a_{i_22}(\lambda)\cdots a_{i_nn}(\lambda).$$ 利用上述定义证明: $n$ 阶 $\lambda$-矩阵的行列式满足九条性质, 其中前八条参考教材的第 1.3 节和第 1.4 节, 第九条性质参考教材的定理 1.4.1 和定理 1.4.2.

(2) 证明: $\lambda$-矩阵的行列式满足 Laplace 定理和 Cauchy-Binet 公式. 特别地, 设 $A(\lambda),B(\lambda)$ 为 $n$ 阶 $\lambda$-矩阵, 则 $$|A(\lambda)\cdot B(\lambda)|=|A(\lambda)|\cdot |B(\lambda)|,$$ 即 $\lambda$-矩阵乘积的行列式等于其行列式的乘积.

(3) 设 $n\,(n\geq 2)$ 阶 $\lambda$-矩阵 $A(\lambda)$ 的伴随矩阵为 $A(\lambda)^*$, 它的元素即为 $A(\lambda)$ 中元素的代数余子式, 因此 $A(\lambda)^*$ 也是一个 $n$ 阶 $\lambda$-矩阵. 设 $A(\lambda),B(\lambda)$ 为 $n\,(n\geq 2)$ 阶 $\lambda$-矩阵, 证明 $\lambda$-矩阵的伴随矩阵满足如下性质:

(3.1) $A(\lambda)A(\lambda)^*=A(\lambda)^*A(\lambda)=|A(\lambda)|I_n$;

(3.2) $(A(\lambda)B(\lambda))^*=B(\lambda)^*A(\lambda)^*$;

(3.3) $|A(\lambda)^*|=|A(\lambda)|^{n-1}$;

(3.4) $(A(\lambda)^*)^*=|A(\lambda)|^{n-2}A(\lambda)$.

(4) 设 $A\in M_n(\mathbb{K})$ 的特征多项式 $f(\lambda)=|\lambda I_n-A|$, 试对特征矩阵 $\lambda I_n-A$ 利用 (3.1) 证明 Cayley-Hamilton 定理, 即 $f(A)=0$.

(5) 设 $A(\lambda)$ 为 $n$ 阶 $\lambda$-矩阵, 证明下列结论等价:

(5.1) $A(\lambda)$ 是可逆 $\lambda$-矩阵；

(5.2) $A(\lambda)$ 的行列式是非零常数;

(5.3) $A(\lambda)$ 的相抵标准型是 $I_n$;

(5.4) $A(\lambda)$ 只通过 $\lambda$-矩阵的初等行变换或初等列变换就可变为 $I_n$;

(5.5) $A(\lambda)$ 是有限个初等 $\lambda$-矩阵的乘积,

上述结论之一成立时, $A(\lambda)^{-1}=\dfrac{1}{|A(\lambda)|}A(\lambda)^*$.

注  上述结论的 (2) 和 (5) 将会在讲授教材第 7.2 节时给出证明.

7、设 $A$ 为 3 阶实矩阵, 满足 $AA'=k^2I_3$ 且 $|A|=k^3$, 其中 $k$ 是非负实数. 求证: 存在实数 $t\in[-1,3]$, 使得 $$A^3-tkA^2+tk^2A-k^3I_3=0.$$

8、试用线性空间理论以及多项式理论重新证明教材中的推论 7.3.4: 设 $\mathbb{F}\subseteq\mathbb{K}$ 是两个数域, $A,B$ 是 $\mathbb{F}$ 上的两个矩阵, 则 $A,B$ 在 $\mathbb{F}$ 上相似当且仅当 $A,B$ 在 $\mathbb{K}$ 上相似.

提示  将 $\mathbb{K}$ 看成是 $\mathbb{F}$ 上的线性空间, 当 $\dim_{\mathbb{F}}\mathbb{K}<\infty$ 时, 把基写出并把 $\mathbb{K}$ 上的过渡矩阵写成 $\mathbb{F}$ 上矩阵的 $\mathbb{K}$-线性组合, 然后再利用多元多项式理论得到 $\mathbb{F}$ 上的过渡矩阵; 当 $\dim_{\mathbb{F}}\mathbb{K}=\infty$ 时, 由 Zorn 引理可取到一组基 (个数无限), 重复上述讨论时仍可回到有限的情形.

9、设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换. 设 $0\neq v\in V$, 多项式 $g(\lambda)\in\mathbb{K}[\lambda]$, 若 $g(\varphi)(v)=0$, 则称 $g(\lambda)$ 为 $\varphi$ 在 $v$ 处的零化多项式. 若首一多项式 $m_v(\lambda)\in\mathbb{K}[\lambda]$ 是 $\varphi$ 在 $v$ 处所有非零零化多项式中的次数最小者, 则称 $m_v(\lambda)$ 为 $\varphi$ 在 $v$ 处的极小多项式 (当固定 $\varphi$ 时, $m_v(\lambda)$ 简称为 $v$ 的极小多项式).

(1) 证明: 对任意的 $0\neq v\in V$, 其极小多项式 $m_v(\lambda)$ 存在并且唯一 (先证基本性质: 极小多项式整除任意的零化多项式).

(2) 设 $0\neq v\in V$, 由 $\{v,\varphi(v),\varphi^2(v),\cdots\}$ 张成的子空间记为 $C(\varphi,v)$, 称为 $\varphi$ 的由 $v$ 生成的循环子空间 (这是包含 $v$ 的最小的 $\varphi$-不变子空间), $v$ 称为循环子空间 $C(\varphi,v)$ 的循环向量. 设 $\dim C(\varphi,v)=k$, 证明: $\{v,\varphi(v),\cdots,\varphi^{k-1}(v)\}$ 是 $C(\varphi,v)$ 的一组基. 若设 $$\varphi^k(v)=-a_0v-a_1\varphi(v)-\cdots-a_{k-1}\varphi^{k-1}(v),$$ 令 $$m_v(\lambda)=\lambda^k+a_{k-1}\lambda^{k-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0,$$ 证明: $m_v(\lambda)$ 是 $v$ 的极小多项式.

(3) 记号和假设同 (2), 证明:

(3.1) $C(\varphi,v)$ 中任一向量都可写成 $g(\varphi)(v)$ 的形式, 其中 $g(\lambda)\in\mathbb{K}[x]$, $\deg g(\lambda)<k$;

(3.2) $g(\varphi)(v)$ 也是 $C(\varphi,v)$ 的循环向量 (即 $C(\varphi,g(\varphi)(v))=C(\varphi,v)$) 的充要条件是 $(g(\lambda),m_v(\lambda))=1$;

(3.3) 对 $m_v(\lambda)$ 的任一非常数首一因式 $h(\lambda)$, 存在 $0\neq w\in C(\varphi,v)$, 使得 $m_w(\lambda)=h(\lambda)$;

(3.4) $C(\varphi,v)$ 只有有限个 $\varphi$-不变子空间, 即为 $\{C(\varphi,g(\varphi)(v))\mid g(\lambda)$ 是 $m_v(\lambda)$ 的首一因式$\}$.

(4) 设 $0\neq u,v\in V$ 的极小多项式分别为 $m_u(\lambda),m_v(\lambda)$, 证明:

(4.1) 若 $(m_u(\lambda),m_v(\lambda))=1$, 则 $C(\varphi,u)+C(\varphi,v)=C(\varphi,u)\oplus C(\varphi,v)$, 并且 $u+v$ 的极小多项式为 $m_u(\lambda)\cdot m_v(\lambda)$;

(4.2) 存在 $0\neq w\in C(\varphi,u)+C(\varphi,v)$, 使得 $m_w(\lambda)=[m_u(\lambda),m_v(\lambda)]$.

(5) 设 $\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}$ 是 $V$ 的一组基, $m_i(\lambda)$ 分别是 $v_i$ 的极小多项式, $m(\lambda)$ 是 $\varphi$ 的极小多项式, 证明: $$m(\lambda)=[m_1(\lambda),m_2(\lambda),\cdots,m_n(\lambda)].$$

(6) 设 $m(\lambda)$ 是 $\varphi$ 的极小多项式, 证明: 存在 $0\neq v\in V$, 使得 $v$ 的极小多项式 $m_v(\lambda)=m(\lambda)$.

(7) 设 $\varphi$ 在 $\mathbb{K}$ 中有 $n$ 个不同的特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$, 对应的特征向量为 $v_1,v_2,\cdots,v_n$, 证明: $V$ 是循环空间, 并求其循环向量.

注  第 6 问可由有理标准型理论或线性空间理论得到直接的存在性证明, 这里请利用前 5 问的结论给出具体的构造性证明.

10、(1) 证明实对称阵的特征值都是实数, 进一步利用 Jordan 标准型理论和反证法证明实对称阵都可实对角化.

(2) 证明实反对称阵的特征值都是 0 或纯虚数, 进一步利用 Jordan 标准型理论和反证法证明实反对称阵都可复对角化.

11、(1) 设 $A\in M_n(\mathbb{C})$ 与所有的 $A^k\,(k\geq 1)$ 都相似, 求 $A$ 的 Jordan 标准型.

(2) 设非异阵 $A\in M_n(\mathbb{C})$ 与 $A^{-1}$ 相似, 求 $A$ 的 Jordan 标准型.

注  本题为新白皮书例 7.7 和例 7.8 的逆向命题.

12、设 $A$ 是非异复矩阵, 证明: $A=BC$, 满足:

(1) $B$ 可对角化;

(2) $C$ 的特征值全为 $1$;

(3) $BC=CB$;

(4) $B,C$ 都可表示为 $A$ 的多项式,

并且满足条件 (1)--(3) 的分解必唯一.

注  本题称为乘法形式的 Jordan-Chevalley 分解定理.

13、设 $\varphi$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 其特征多项式 $f(\lambda)=P_1(\lambda)P_2(\lambda)\cdots P_k(\lambda)$, 其中 $P_i(\lambda)$ 是 $\mathbb{K}$ 上互异的首一不可约多项式, 试求所有的 $\varphi$-不变子空间.

14、证明: 对任意的非异阵 $A\in M_n(\mathbb{C})$, 存在 $B\in M_n(\mathbb{C})$, 使得 $\mathrm{e}^B=A$.

15、设 $f(z)$ 是收敛半径等于 $+\infty$ 的复幂级数, 证明: 对任一 $A\in M_n(\mathbb{C})$, 存在一个依赖于 $A$ 的多项式 $g(\lambda)\in\mathbb{C}[\lambda]$, 使得 $f(A)=g(A)$.

注  矩阵函数也可以用多项式来定义. 本题告诉我们, 这种定义与幂级数的定义是等价的.

16、(1) 设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, 证明: 对任意的 $x\in\mathbb{R}^n$, 成立 $0\leq x'(A+xx')^{-1}x<1$, 并求等于零的充要条件; 进一步, 对任意的 $B\in M_{n\times m}(\mathbb{R})$, 成立 $0\leq |B'(A+BB')^{-1}B|<1$, 并求等于零的充要条件;

(2) 设 $A$ 为 $n$ 阶半正定实对称阵, 证明: 存在 $x\in\mathbb{R}^n$, 使得 $A+xx'$ 正定且 $x'(A+xx')^{-1}x=1$ 的充要条件是 $r(A)=n-1$; 进一步, 存在 $B\in M_{n\times m}(\mathbb{R})\,(m\leq n)$, 使得 $A+BB'$ 正定且 $|B'(A+BB')^{-1}B|=1$ 的充要条件是 $r(A)=n-m$.

17. 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称阵, 其特征值为 $\lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_n$, 证明: $$\lambda_i=\min\limits_{V_i}\max\limits_{0\neq x\in V_i}\frac{x'Ax}{x'x}=\max\limits_{V_{n-i+1}}\min\limits_{0\neq x\in V_{n-i+1}}\frac{x'Ax}{x'x}\,\,(i=1,2,\cdots,n),$$ 其中 $V_j$ 表示 $\mathbb{R}^n$ 的 $j$ 维子空间.

注  本题的结论称为“极小极大定理”或“Courant-Fisher 定理”.

18. 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称阵, 其特征值为 $\lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_n$.

(1) 设 $S$ 为 $n\times m$ 阶实矩阵, 满足 $S'S=I_m$, $m$ 阶实对称阵 $S'AS$ 的特征值为 $\mu_1\leq\mu_2\leq\cdots\leq\mu_n$, 证明: $$\lambda_j\leq\mu_j,\,\,\,\,\lambda_{n-j+1}\geq\mu_{m-j+1}\,\,(j=1,2,\cdots,m);$$

(2) 若 $A_m$ 是 $A$ 的 $m$ 阶主子阵, 其特征值为 $\mu_1\leq\mu_2\leq\cdots\leq\mu_n$, 证明: $$\lambda_j\leq\mu_j,\,\,\,\,\lambda_{n-j+1}\geq\mu_{m-j+1}\,\,(j=1,2,\cdots,m).$$

注  本题的结论 (1) 称为“特征值隔离定理”或“Poincare 定理”, 结论 (2) 称为“Cauchy 交错定理”.

19. 设 $n$ 阶实对称阵 $A,B$ 的特征值分别为 $\lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_n$, $\mu_1\leq\mu_2\leq\cdots\leq\mu_n$, $C=A+B$ 的特征值为 $\nu_1\leq\nu_2\leq\cdots\leq\nu_n$,  证明: $$\lambda_j+\mu_1\leq\nu_j\leq\lambda_j+\mu_n\,\,(j=1,2,\cdots,n).$$ 特别地, $$|\nu_j-\lambda_j|\leq\|B\|_2:=\max\{|\mu_1|,|\mu_n|\}.$$

注  本题的结论称为“Weyl 摄动定理”.

20.  (1) 设 $V$ 是实 (复) 线性空间, 若存在 $V$ 上的实值函数 $\|\,\cdot\,\|:V\to\mathbb{R}$, 对任意的 $\alpha,\beta\in V$, $c\in\mathbb{R}\,(\mathbb{C})$, 满足:

(i) 非负性: $\|\alpha\|\geq 0$, 等号成立当且仅当 $\alpha=0$;

(ii) 齐次性: $\|c\alpha\|=|c|\cdot\|\alpha\|$;

(iii) 三角不等式: $\|\alpha+\beta\|\leq \|\alpha\|+\|\beta\|$,

则称 $\|\,\cdot\,\|$ 是 $V$ 上的一个范数. 给定范数的实 (复) 线性空间称为赋范线性空间. 例如在内积空间 $V$ 中, 由内积 $(-,-)$ 诱导的范数为 $\|\alpha\|=(\alpha,\alpha)^{\frac{1}{2}}$, 因此内积空间必为赋范线性空间. 证明下列实值函数是 $\mathbb{R}^n$ 上的范数, 其中 $\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)'\in\mathbb{R}^n$:

(i) $\|\alpha\|_1:=\sum\limits_{i=1}^n|a_i|$ (称为 1-范数);

(ii) $\|\alpha\|_2:=\Big(\sum\limits_{i=1}^na_i^2\Big)^{\frac{1}{2}}$ (称为 2-范数, 即由 Euclid 空间 $\mathbb{R}^n$ 上的标准内积诱导的 Euclid 范数);

(iii) $\|\alpha\|_\infty:=\max\limits_{1\leq i\leq n}|a_i|$ (称为 $\infty$-范数).

(2) 设 $\|\,\cdot\,\|$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的范数, 对任意的 $A\in M_n(\mathbb{R})$, 定义 $M_n(\mathbb{R})$ 上的实值函数为 $\|A\|:=\max\limits_{\alpha\in\mathbb{R}^n,\,\|\alpha\|=1}\|A\alpha\|$, 证明:

(i) 上述实值函数 $\|\,\cdot\,\|$ 是 $M_n(\mathbb{R})$ 上的范数, 称为从属于 $\mathbb{R}^n$ 上范数 $\|\,\cdot\,\|$ 的算子范数;

(ii) 上述算子范数满足: 对任意的 $A,B\in M_n(\mathbb{R})$, 成立 $\|A\cdot B\|\leq \|A\|\cdot\|B\|$;

(iii) $M_n(\mathbb{R})$ 上的 Frobenius 内积诱导的 Frobenius 范数 $\|A\|_F=\Big(\sum\limits_{i,j=1}^na_{ij}^2\Big)^{\frac{1}{2}}$ 不可能是从属于 $\mathbb{R}^n$ 上某个范数的算子范数.

(3) 记从属于 $\mathbb{R}^n$ 上 1-范数 $\|\,\cdot\,\|_1$, 2-范数 $\|\,\cdot\,\|_2$ 和 $\infty$-范数 $\|\,\cdot\,\|_\infty$ 的 $M_n(\mathbb{R})$ 上对应的算子范数分别为 1-范数 $\|\,\cdot\,\|_1$, 2-范数 $\|\,\cdot\,\|_2$ 和 $\infty$-范数 $\|\,\cdot\,\|_\infty$, 对任意的 $A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{R})$, 证明:

(i) $\|A\|_1=\max\limits_{1\leq j\leq n}\sum\limits_{i=1}^n|a_{ij}|$;

(ii) $\|A\|_\infty=\max\limits_{1\leq i\leq n}\sum\limits_{j=1}^n|a_{ij}|$;

(iii) $\|A\|_2=\big(\lambda_{max}(A'A)\big)^{\frac{1}{2}}$, 其中 $\lambda_{max}(A'A)$ 表示半正定实对称阵 $A'A$ 的最大特征值.

注  思考题 17、18、19 和 20 都有对应的复数域上的版本, 请读者自行思考其形式并证明其结论.