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题目分析

来源：acwing

分析：
如何建图？

这样建图。以样例举例。起点是前两个字母，终点是末尾两个字母，边权是字符串的长度。

我们求的是什么呢？

题目要求 Σ 边 权 Σ 1 ( 点 的 个 数 ) \frac{\Sigma{边权}}{\Sigma{1}(点的个数)} Σ1(点的个数)Σ边权​的最大值，这种问题称为01分数规划，通俗点说，就是一堆的和除以一堆的和，要求比值最大。

我们可以通过二分来做，二分啥呢？就是对于一个环，二分一个mid值，判断是否满足 Σ 边 权 Σ 1 ( 点 的 个 数 ) ≥ m i d \frac{\Sigma{边权}}{\Sigma{1}(点的个数)} \geq mid Σ1(点的个数)Σ边权​≥mid，然后我们就可以来不断更改二分的区间，直到找到 Σ 边 权 Σ 1 \frac{\Sigma{边权}}{\Sigma{1}} Σ1Σ边权​的最大值。

思路确定了，那么具体如何实现呢？

Σ 边 权 Σ 1 ≥ m i d \frac{\Sigma{边权}}{\Sigma{1}} \geq mid Σ1Σ边权​≥mid 由于这里的边都是正权边，所以可以移项，变成

Σ 边 权 − m i d × Σ 1 ≥ 0 {\Sigma{边权}} - mid \times{\Sigma{1}} \geq0 Σ边权−mid×Σ1≥0

将求和符号提出，亦等价于：

Σ ( 边 权 − m i d ) ≥ 0 {\Sigma{(边权} - mid )} \geq0 Σ(边权−mid)≥0
等价于 图中存在正环

下面就是默写spfa判正环。

当然建边的时候，需要把ab，ba这样的字母映射到一个整数（因为每一维都是26个英文字母的一个，这里用26 进制来做），是如下这样做的：

int left= (str[0] - 'a') * 26 + str[1] - 'a';
int right = (str[len -2 ] - 'a') * 26 + str[len - 1] - 'a';

ac代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 700, M = 100010;
int n;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
double dist[N];
int q[N], cnt[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c){
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

bool check(double mid){
    memset(st, 0, sizeof st);
    memset(cnt, 0, sizeof cnt);
    int number = 26 * 26;
    queue<int> q;
    for(int i = 0; i < number ;i ++) q.push(i), st[i] = true;
    int  count = 0; // 防止超时，做的优化
    while(q.size()){
        auto t = q.front();
        q.pop();
        st[t] = false;
        for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]){
            int j = e[i];
            if(dist[j] < dist[t] + w[i] - mid){
                dist[j] = dist[t] + w[i] - mid;
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if( ++ count > 2 * n) return true; // trick优化
                if(cnt[j] >= N) return true;
                if(!st[j]){
                    q.push(j),st[j]  = true;
                }
            }
        }
    }
    return false;
    
}

int main(){
    char str[1010];
    while(cin >> n, n){
        memset(h, -1, sizeof h);
        idx = 0;
        for(int i = 0; i < n; i ++ ){
            scanf("%s",str);
            int len = strlen(str);
            if(len >= 2){
                int left= (str[0] - 'a') * 26 + str[1] - 'a';
                int right = (str[len -2 ] - 'a') * 26 + str[len - 1] - 'a';
                add(left, right, len);
            }
        }
        if(!check(0)) puts("No solution");
        else {
            double l = 0, r = 1000;
            while( r - l > 1e-4){
                double mid = (l + r)/ 2;
                if(check(mid))  l = mid;
                else r = mid;
            }
            printf("%.2lf\n",r);
        }
        
        
    }
}

题目链接

https://www.acwing.com/problem/content/1167/