正文

字符串匹配

给你两个字符串，寻找其中一个字符串是否包含另一个字符串，如果包含，返回包含的起始位置。
如下面两个字符串：

string s = "bacbababadababacambabacaddababacasdsd";
string t = "ababaca";

s有两处包含t
分别在s的下标10，26处包含ptr。

“bacbababadababacambabacaddababacasdsd”;

问题类型很简单，下面直接介绍算法

Java版的串的朴素模式匹配算法、KMP模式匹配算法、KMP模式匹配算法的改进算法。

1.朴素的模式匹配算法

　　为主串和子串分别定义指针i，j。

　　　　（1）当 i 和 j 位置上的字母相同时，两个指针都指向下一个位置继续比较；

　　　　（2）当 i 和 j 位置上的字母不同时，i 退回上次匹配首位的下一位，j 则返回子串的首位。

　　实现程序：

/**
 * 朴素的模式匹配算法
 * 说明：下标从0开始，与书稍有不同，但原理一样
 */
public class BruteForce {

    int index(String s, String t, int pos) {
        int i = pos;
        int j = 0;
        while (i < s.length() && j < toString().length()) {
            if (s.charAt(i) == t.charAt(j)) {
                i++;
                j++;
            } else {
                i = i - j + 1;
                j = 0;
            }
        }
        if (j == t.length()) {
            return i - j;
        } else {
            return -1;
        }

    }

    public static void main(String[] args) {
        BruteForce sample = new BruteForce();
        int idx = sample.index("goodgoogle", "google", 0);
        System.out.println(idx);
    }
}

4

2.KMP模式匹配算法

2.1 KMP模式匹配算法的主体思路

　　在上图的比较中，当 i 和 j 等于5时，两字符不匹配。在朴素匹配算法中，会令i=1，j=0，然后进行下一步比较；但是，我们其实已经知道了i=1到4的主串情况了，没有必要重复进行i=2到4的比较，且我们观察“ABCABB”的B前面的ABCAB，其前缀与后缀(黄色部分)相同，所以可以直接进行上图中的第三步比较（令 i 不变，令 j 从5变成2，继续进行比较）。这就是KMP模式匹配算法的大概思路。这当中的 j 从5跳转到了2，2通过一个函数next(5)求得，next(5)即代表j=5位置不匹配时要跳转的下一个进行比较的位置。

　　KMP模式匹配算法：

　　为主串和子串分别定义指针 i 和 j 。

　　（1）当 i 和 j 位置上的字母相同时，两个指针都指向下一个位置继续比较；

　　（2）当 i 和 j 位置上的字母不同时，i 不变，j 则返回到next[j]位置重新比较。（暂时先不管next[]的求法，只要记得定义有next[0]=-1）

　　（3）当 j 返回到下标为0时，若当 i 和 j 位置上的字母仍然不同，根据（2），有 j = next[0]=-1，这时只能令 i 和 j 都继续往后移一位进行比较 （同步骤（1））。

　　上述内容可结合下图说明：

　　（1）i 和 j 从下标为0开始比较，该位置两字母相同，i 和 j 往后移继续比较；

　　（2）一直比较到 i 和 j 等于5时，两字母不同， i 不变，j 返回到 next[j]的位置重新比较，该子串的next[5]=2，所以 j 返回到下标为2的位置继续与 i=5的主串字母比较。

　　（3）在下图情况下，当j=0时，两字母不同，子串只能与主串的下一个元素比较了（即i=1与j=0比较）。根据（2），会使 j=next[j]=next[0]=-1，所以现在的i=0，j=next[0]=-1了，要下一步比较的话两个指针都要加一。

　　　根据上述说明可以写出如下代码（代码中的next[]暂时假设已知，之后会讲）：

2.2 next[]的定义与求解

　　根据上述内容可知，next[j] 的含义为：当下标为 j 的元素在不匹配时，j 要跳转的下一个位置下标。

　　继续结合下图说明：

　　当j=5时，元素不匹配，j跳转到next[5]=2的位置重新比较。

　　那为什么next[5]的值为2呢？即，为什么j=5不匹配时要跳转到2位置呢？

　　观察 ABCABB 这个字符串，下标为5的字符为B，它前面的字符 ABCAB 与主串完全相同，而ABCAB的前缀与后缀(黄色部分)相同，，所以前缀AB不用再进行比较了，直接比较C这个字符，即下标为2的字符，所以next[5]=2。

　　那么该如何求解跳转位置next[]呢？通过刚才的讨论，我们可以发现next[j]的值等于 j 位置前面字符串的相同前后缀的最大长度，上面例子就是等于AB的长度2。

　　next[]的公式如下：

　　公式说明：

　　　　1.在j=0时，0位置之前没有字符串，next[0]定义为-1 ；

　　　　2. 在 j 位置之前的字符串中，如果有出现前后缀相等的情况，令 j 变为相等部分的最大长度，即刚刚所说的相同前后缀的最大长度。如上述的ABCABB字符串中，j=5时，前面相等部分AB长度为2，所以next[5]=2；

　　　　3.其余情况下，next[j]=0。其他情况，没有出现字符的前后缀相等，相同前后缀的最大长度自然就是0。

　　那求解next[]的代码如何实现呢？以下是代码的分析过程：

　　　　1.定义两个指针 i=0 和 j=-1，分别指向前缀和后缀( j 值始终要比 i 值小)，用于确定相同前后缀的最大长度；（因为 i 是后缀，所以我们求的都是 i+1位置的next值next[i+1])

　　　　2.根据定义有：next[0]=-1;

　　　　3.当前缀中 j 位置的字符和后缀中 i 位置的字符相等时，说明 i+1 位置的next值为 j+1 (因为 j+1 为相同前后缀的最大长度，可结合下面两种情况思考）(即next[i+1]=j+1 )

　　　　4.j==-1时，说明前缀没有与后缀相同的地方，最大长度为0，则 i+1 位置的next值只能为0，此时也可以表示为next[i+1]=j+1。

　　　　5.当 j 位置的字符和 i 位置的字符不相等时，说明前缀在第 j 个位置无法与后缀匹配，令 j 跳转到下一个匹配的位置，即 j= next[j] 。

　　以下是实现求解next[]的程序：

2.3 KMP完整代码

　　结合next数组的求解和KMP算法，完整代码如下：

[-1, 0, 1]

[-1, 0, 0, 0, 1, 2]

[-1, 0, 0, 1, 2, 3, 1, 1, 2]

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2.4 一道题目

已知字符串S为abaabaabacacaabaabcc,模式串P为abaabc。采用KMP算法进行匹配，第一次出现“失配”（S[i]≠P[j]）时，i=j=5,则下次开始匹配时，i和j的值分别是：C。

A. i = 1, j = 0

B. i = 5, j = 0

C.i = 5, j = 2

D. i = 6, j = 2

　　分析：模式串就是之前所说的子串，i 和 j 是之前所说的指针。根据刚刚的分析中，出现失配时，指针 i 是不会变动的，只会变 j，j=next[j]。next[j]的物理意义是 j 位置前面字符串的相同前后缀的最大长度，我们可以发现abaabc中c前面的字符串中相同前后缀为ab,长度为2，所以直接可以选出答案为C。

3.KMP模式匹配算法改进

　　对于如下字符串，j=3时，next[j]=1，根据next的定义，即当 j=3位置不匹配时，j跳转到1位置重新比较，但可以发现，j=2位置和j=1位置其实是同一个字母，没有必要重复比较。

　　举个例子，在KMP算法下的比较过程如下（按图依次进行）：

　　因为有next[3]=1，所以会出现中间这个其实可以省略掉的过程。实际上我们是可以直接跳到j=0那一步进行比较的，这就需要修改next数组，我们把新的数组记为nextval数组。

　　中间那步可以省略是因为，j=3和 j=1位置上的字符是完全相同的，因此没有必要再进行比较了。因此只需要在原有的next程序中加上一个字符是否相等的判断，如果要跳转的nextval位置上的字符于当前字符相等，令当前字符的nextval值等于要跳转位置上的nextval值。

　　KMP模式匹配算法的改进程序如下:

[-1, 0, 1]

[-1, 0, 0, 0, 1, 2]

[-1, 0, 0, 1, 2, 3, 1, 1, 2]

4

[-1, -1, 1]

[-1, 0, 0, -1, 0, 2]

[-1, 0, -1, 0, -1, 3, 1, 0, -1]

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　　改进的算法仅在第24到28行代码发生了改变。

　　图中这句话可以结合下表仔细体会。（要记得nextval[j]的含义：j位置的字符未匹配时要跳转的下一个位置）

4.朴素算法和KMP算法的时间复杂度分析

目标串s （长度m）子串t(长度n )

朴素匹配算法时间复杂度：o(m*n)

KMP算法时间复杂度：o(m+n)

KMP算法 为何简化了时间复杂度：

充分利用了目标字符串s的性质（比如里

面部分字符串的重复性，即使不存在重复字段，在比较时，实现最大的移动量）。

5.KMP算法next[]数组理解

KMP算法用到了next数组，然后利用next数组的值来提高匹配速度，我首先讲一下next数组怎么求，之后再讲匹配方式。

next数组详解

定义一串字符串

ptr = "ababaaababaa";

next[i]（i从1开始算）代表着，除去第i个数，在一个字符串里面从第一个数到第（i-1）字符串前缀与后缀最长重复的个数。

什么是前缀？

在“aba”中，前缀就是“ab”，除去最后一个字符的剩余字符串。

同理可以理解后缀。除去第一个字符的后面全部的字符串。

在“aba”中，前缀是“ab”，后缀是“ba”，那么两者最长的子串就是“a”；

在“ababa”中，前缀是“abab”，后缀是“baba”，二者最长重复子串是“aba”；

在“abcabcdabc”中，前缀是“abcabcdab”，后缀是“bcabcdabc”，二者最长重复的子串是“abc”；

这里有一点要注意，前缀必须要从头开始算，后缀要从最后一个数开始算，中间截一段相同字符串是不行的。

再回到next[i]的定义，对于字符串ptr = "ababaaababaa";

next[0] = -1 初始值

next[1] = 0,代表着除了第一个元素，之前前缀后缀最长的重复子串，这里是空 ,即""，没有，我们记为-1，代表空。（0代表1位相同，1代表两位相同，依次累加）。

next[2] = 0，即“a”，没有前缀与后缀，故最长重复的子串是空，值为-1；

next[3] = 0，即“ab”，前缀是“a”，后缀是“b”，最长重复的子串“”；

next[4] = 1，即"aba"，前缀是“ab”，后缀是“ba”，最长重复的子串“a”；next数组里面就是最长重复子串字符串的个数

next[5] = 2，即"abab"，前缀是“aba”，后缀是“bab”，最长重复的子串“ab”；

next[6] = 3，即"ababa"，前缀是“abab”，后缀是“baba”，最长重复的子串“aba”；

next[7] = 1，即"ababaa"，前缀是“ababa”，后缀是“babaa”，最长重复的子串“a”；

next[8] = 1，即"ababaaa"，前缀是“ababaa”，后缀是“babaaa”，最长重复的子串“a”；

next[9] = 2，即"ababaaab"，前缀是“ababaaa”，后缀是“babaaab”，最长重复的子串“ab”；

next[10] = 3，即"ababaaaba"，前缀是“ababaaab”，后缀是“babaaaba”，最长重复的子串“aba”；

next[11] = 4，即"ababaaabab"，前缀是“ababaaaba”，后缀是“babaaabab”，最长重复的子串“abab”；

next[12] = 5，即"ababaaababa"，前缀是“ababaaabab”，后缀是“babaaaababa”，最长重复的子串“ababa”；

推荐阅读：
　　从头到尾彻底理解KMP（2014年8月22日版）

　　字符串匹配的KMP算法

　　超详细理解：kmp算法next数组求解过程和回溯的含义

附：

　　　　要记住上面的算法，一定要记住指针 i 和 j 代表的意义，j==-1的意义，以及next的意义。

　　　　(getNext()中前缀位置和后缀位置，index_KMP()中主串位置和子串位置)，（前缀或子串的首个字符就无法匹配），（要跳转的下一个位置）

　　       还有要注意的就是，i为后缀，我们求的是下一个位置的next值，即next[i+1]。