决策树在分类、预测、规则提取等领域有着广泛的应用。

决策树是一种树状结果，它的每一个叶节点对应一个分类。构造决策树的核心问题是：在每一步如何选择适当的属性对样本做拆分。对于分类问题，从已知类标记的训练样本中学习并构造出决策树是一个自上而下，分而治之的过程。

常见的决策树算法如下：

1. ID3算法
2. C4.5算法
3. CART算法

其中ID3是最经典的决策树分类算法。

ID3算法

ID3算法基于信息熵来选择最佳测试属性。它选择当前样本集中具有最大信息增益值的属性作为测试属性。

总的信息熵计算方式如下：

设S是s个数据样本的集合。假定某个类别有m个不同的取值：Ci(i = 1, 2, …, m)。设Si是某个类别Ci中的样本数。对于一个给定样本，它总的信息熵为：

其中，Pi是任意样本属于Ci的概率，一般可以用Si/s估计。

每个属性的信息熵计算方式如下：

假设一个属性A具有k个不同的值{a1, a2, …, ak}，利用属性A将集合S划分为若干个子集 {S1, S2, …, Sk}，其中Sj包含了集合S中属性A取aj值的样本。若选择属性A为测试属性，则这些子集就是从集合S的节点生长出来的新的叶子节点。设Sij是子集Sj中类别为Ci的样本数，则根据属性A划分样本的信息熵值为：

其中，，是子集Sj中类别为Ci的样本的概率。

最后，用属性A划分样本集S后所得的信息增益（Gain）为：

Gain值越大，说明选择测试属性A对于分类提供的信息越大，选择A之后对于分类的不确定程度越小。

ID3算法具体流程

1. 对当前样本集合，计算所有属性的信息增益（总的信息熵）
2. 选择信息增益最大的属性作为测试属性，把测试属性取值相同的样本划分为同一个样本集
3. 若子样本集的类别属性只含有单个属性，则分支为叶子节点，判断其属性值并标上相应的符号，然后返回调用出；否则对子样本集递归调用本算法

决策树案例

接下来通过一个案例来了解天气、是否周末、是否有促销对销量的影响。数据集格式如下：

数据集已经上传到百度云盘：https://pan.baidu.com/s/1zX9W0XC3arA0L2HqrjQR7g

计算信息熵值

1、计算总的信息熵值

参考公式：

销量有两种分类为：Ci = {高, 低}, 其中销量为高的为18个，销量为低的是16个。

故总的信息熵为：

通过以下Python代码计算总的信息熵值为：0.997502546369

#-*- coding: utf-8 -*-

import math as m

# 计算总的信息熵
I_18_16 = -18 / 34.0 * m.log(18 / 34.0, 2) - 16 / 34.0 * m.log(16 / 34.0, 2)
print I_18_16

2、计算每个测试属性（天气、是否周末、是否有促销）的信息熵值

2.1 天气

天气好的情况：销量高的有11个，销量低的有6个

天气坏的情况：销量高的有7个，销量低的有10个

分别计算天气好和天气坏的信息熵为：

天气好的信息熵为：0.936667381878

天气坏的信息熵为：0.964078764808

根据公式：

天气属性的信息熵为：0.950373073343

根据公式：

计算属性「天气」属性的增益值为：

Gain(天气) = 0.0471294730262

同理，通过以上方式，我们可以计算得到「是否周末、是否有促销」的增益值，分别为：

天气属性的增益值为：0.047129

是否周末属性的增益值为：0.139394

是否有促销属性的增益值为：0.127268

故增益最大的属性为：是否为周末。

基于以上结论，以是否为周末作为根节点来构建决策树。

计算代码如下：

#-*- coding: utf-8 -*-

import math as m



# 计算二分类信息熵
# s1, s2必须是浮点数
def calc(s1, s2):
    return - s1 / (s1 +s2) * m.log(s1 / (s1 +s2), 2) - s2 / (s1 +s2) * m.log(s2 / (s1 +s2), 2)

# 计算总的信息熵
print u'总的信息熵为：'
print calc(18.0, 16.0)

print '- -' * 10
print '天气属性信息熵与增益值计算'

# 计算天气好的信息熵为
print calc(11.0, 6.0)
# 计算天气坏的信息熵为
print calc(7.0, 11.0)
# 计算天气属性的信息熵为
come_weather = 17 / 34.0 * calc(11.0, 6.0) + 17 / 34.0 * calc(7.0, 11.0)
print come_weather

# 计算天气属性的增益值为
print '天气属性的增益值为：%f' % (calc(18.0, 16.0) - come_weather)

print '- -' * 10
print '是否周末属性信息熵与增益值计算'

# 计算是周末的信息熵为
print calc(11.0, 3.0)
# 计算不是周末的信息熵为
print calc(7.0, 13.0)
# 计算是否周末属性的信息熵为
come_weekday = 14 / 34.0 * calc(11.0, 3.0) + 20 / 34.0 * calc(7.0, 13.0)

print '是否周末属性的增益值为：%f' % (calc(18.0, 16.0) - come_weekday)

print '- -' * 10
print '是否有促销属性信息熵与增益值计算'

# 计算有促销的信息熵为
print calc(15.0, 7.0)
# 计算不是周末的信息熵为
print calc(9.0, 3.0)
# 计算是否周末属性的信息熵为
come_sales = 22 / 34.0 * calc(15.0, 7.0) + 12 / 34.0 * calc(9.0, 3.0)

print '是否有促销属性的增益值为：%f' % (calc(18.0, 16.0) - come_sales)

使用python构建决策树模型

# -*- coding: utf-8 -*-
import sys
reload(sys)
sys.setdefaultencoding('utf-8')

# 1. 导入pandas库
import pandas as pd

# 2.读取excel数据
data = pd.read_excel('sales_data.xls', index_col=u'序号')

# 3. 数据是类别标签，需要将数据转换为数字
# 用1表示好、是、高
# 用-1表示坏、否、低
data[data == u'好'] = 1
data[data == u'是'] = 1
data[data == u'高'] = 1
data[data != 1] = -1

# 3.1 获取除索引列以外的3列
x = data.iloc[:,:3].as_matrix().astype(int)
# 3.2 获取销量列
y = data.iloc[:,3].as_matrix().astype(int)

# 4. 导入决策树模型
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier as DTC

# 5. 构建基于信息熵的决策树模型
dtc = DTC(criterion='entropy')
# 6. 训练模型
fit = dtc.fit(x, y)