一.概念

左偏树是具有左偏性质的堆有序二叉树，可类比二叉堆。

如果要合并两个集合，对于二叉堆来说，要一个一个的插入合并，时间复杂度为O（n）；而左偏树的优越就在于可以合并两个集合，需O（logn)的复杂度。

至少维护4个信息：1.2.左右子树指针；3.键值（优先级）；4.距离dist（离外界点最近的距离）。

这里的优先级我理解为插入的元素，比如说要维护一个小根堆，插入10和12，那么10的优先级肯定比12高（因为维护的是小根堆嘛）；外界点指的是：一个节点i，当i的左子树或右子树为空，那么i就是外界点，假设j是i的父亲，有dist(i)=0,dist(j)=1；

 

二.操作

（1）合并

int merge(int x,int y)
{
    if(!x) return y;//其中一棵树为空,返回另一棵树
    if(!y) return x;
    if(key[y]<key[x]) swap(x,y);//假设维护小根堆,保证优先级x>y
    r[x]=merge(r[x],y);合并x右子树和y
    if(dist[r[x]]>dist[l[x]]) swap(r[x],l[x]);
    if(r[x]==0) dist[x]=0;
    else dist[x]=dist[r[x]]+1;
    return x;
}

（2）单点插入：将点看作一棵左偏树，就相当于合并操作。

（3）删除堆顶节点

int deletemin()
{
    int t=key[root];
    root=merge(l[root],r[root]);
    return t;
}

（4）构建一棵左偏树（利用队列）

void build()
{
    int head=1,tail=n;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int root=merge(que[head],que[head+1]);
        que[++tail]=root;
        head+=2;
    }
}

（5）删除任意已知节点

void delete(int x)
{
　　int q=fa[x];
　　int p=merge(l[x],r[x]);
　　fa[p]=q;
　　if(q&&l[q]==x) l[q]=p;　　//若x是q的左儿子，把p接在q左边
　　if(q&&r[q]==x) r[q]=p;
　　while(q)
　　{
　　　　if(dist[r[q]]>dist[l[q]]) swap(l[q],r[q]);　　//要满足左偏性质
　　　　if(dist[r[q]]+1==dist[q]) return;
　　　　dist[q]=dist[r[q]]+1;
　　　　p=q;
　　　　q=fa[p];
　　}
}