再学微积分
初入微积分:不定积分
定义:不定积分是求导运算和微分运算不完全的逆运算。也是一种非构造的运算。
- 为什么是它是它的逆运算？
- 为什么说是不完全的逆运算？
- 为什么说它是非构造的运算？
所以,称它是它的逆运算。
\(证明:为什么f(x)的原函数是且仅是F(x)+C?\)
\(假设f(x)的原函数不止一个,设F(x)是其中的特定的某一个。\)
\(G(x)代表其中的任意一个。则,根据原函数的定义,有:\)
\(F'(x)=f(x),且G'(x)=f(x),则有:h(x)=G'(x)-F'(x)=0。\)
\(所以,只要F(x)是f(x)的一个原函数,任意的一个原函数都可以被表示为:\)
\(F(x)+C,所以f(x)的原函数是且仅是F(x)+C\)
假设不定积分和求导,微分在两个空间之间建立起了联系,那么,假设运算从求导,微分开始:
解空间\(C1\)对应的解空间\(C2\)所对应的解空间不是\(C1\)。实际上\(C2\)是\(C1\)的父集。
故称它们是一对不完全的逆运算。
任何一个特定的不定积分的求解空间\(Y2\)是所有不定积分的求解空间的合空间\(Y1\)的一个很小的子集。
所以说它是非构造的运算。
基本的不定积分公式
\[\int 0dx=C\\ \int 1dx=\int d x=x+C \\ \int x^adx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C (a\not =-1)\\ \int x^{-1}dx= ln |x|+C\\ \int a^x dx= \frac{a^x}{ln a}+C\\ \int e^xdx= e^x+C\\ \int cos xdx= sin x+C\\ \int sin xdx= -cos x+C\\ \int sec^2xdx= tanx +C\\ \int csc^2dx= -cot x+C\\ \int sec x tan xdx=sec x +C\\ \int csc x cot xdx=-csc x +C\\ \int \frac{1}{1+x^2}dx= arctan x+C=-arccot x+C1\\ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsin x +C=-arccos x+C1 \]不定积分的四大法宝
1. 不定积分的线性运算法则
\[若\int f(x)dx,\int g(x)dx均存在\\ {\forall}\alpha,\beta(不同时为零)\\ 则:\int[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha \int f(x)dx+\beta \int g(x)dx \]例题1
\[求\int tan^2xdx\\ \int tan^2xdx=\int (sec^2x-1)dx=\int sec^2 xdx-\int dx \]例题2
\[求\int \frac{1}{sin^2xcos^2}\\ \int \frac{1}{sin^2xcos^2}=\int \frac{sin^2x+cos^2}{sin^2xcos^2}=\int (sec^2x+csc^2x)dx \]例题3
\[求\int \frac{x^4}{x^2+1}dx\\ \int \frac{x^4}{x^2+1}dx=\int \frac{x^4-1+1}{x^2+1}dx=\int (x^2-1+\frac{1}{x^2+1})dx \]2. 不定积分的凑微分(第一换元法)
定义:在保持被积表达式的值不变时,于内部进行微分运算,以同时改变被积函数和积分变量,在整体上达到被积表达式形式的改变,以使其形式更加便于求解。
例题1
\[求\int tan xdx\\ \int tan xdx=-\int \frac{1}{cos x}dcosx =-ln|cosx|+C\\ (\int cot x dx=ln|sinx|+C) \]记住一些微分关系式
\[a*dx=d(ax+b)\\ 2x*dx=d(x^2 \pm a^2)\\ -2x*dx=d(a^2 - x^2)\\ cos xdx=dsinx\\ sinxdx=-dcosx\\ \frac{1}{x}dx=d|lnx|\\ e^xdx=de^x \]例题2
\[求\int \frac{1}{a^2+x^2}dx(a \not =0)\\ \int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a^2}\int \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}dx=\frac{1}{a}\int \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}d(\frac{x}{a})\\ =\frac{1}{a}arctan \frac{x}{a}+C \]例题3
\[求\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx(a>0)\\ \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\frac{1}{a}\int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2}}dx=\int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2}}d(\frac{x}{a})\\ =arcsin \frac{x}{a}+C \]例题4
\[求\int \frac{1}{a^2-x^2}dx(a \not =0)\\ \int \frac{1}{a^2-x^2}dx(a \not =0)=\int \frac{1}{(a-x)(a+x)}dx=\frac{1}{2a}\int (\frac{1}{a-x}-\frac{1}{a+x})dx\\=\frac{1}{2a}\int (\frac{1}{a-x}-\frac{1}{a+x})dx=\frac{1}{2a}[\int \frac{1}{a-x}dx- \int \frac{1}{a+x}dx] \\ =\frac{1}{2a}ln|\frac{a+x}{a-x}| +C\]例题5
\[求\int secxdx\\ \int secx dx=\int \frac{1}{1-sinx^2}dsinx\\ =ln|secx+tanx|+C\\ (\int csc x dx=ln|cscx-cotx|+C) \]另解:
\[求\int secxdx\\ \int secxdx=\int \frac{secx(secx+tanx)}{secx+tanx}dx=\int \frac{1}{secx+tanx}d(secx+tanx)\\ =ln|secx+tanx|+C \]例题6
\[求\int e^{ax}\\ \int e^{ax}=\frac{1}{a}\int e^{ax}d(ax)\\ =\frac{1}{a}e^{ax}+C\\ (\int cosaxdx=\frac{1}{a}sinax+C)\\ (\int sinaxdx=-\frac{1}{a}cosax+C) \]3. 不定积分的变量代换(第二换元法)
定义:创建一个新的变元,并使其与x建立函数关系(这个函数被要求是可导并且严格单调的),而代替入被积表达式之中,以此使得被积表达式的形式发生变化,以使其形式更加便于求解
记忆一些常用的代换
- \[\sqrt{a^2-x^2} ,令x=asint,t \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \]
- \[\sqrt{a^2+x^2} ,令x=atant,t \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \]
- \[\sqrt{x^2-a^2} ,令x=asect,t \in [0,\frac{\pi}{2}]\cup [\frac{\pi}{2},\pi] \]
- \[\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} ,令\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t \]
- \[\sqrt[n]{ax+b} ,令\sqrt[n]{ax+b}=t \]
例题1
\[求\int \sqrt{a^2-x^2}dx\\ 令x=asint\\ \int \sqrt{a^2-x^2}=\int \sqrt{a^2-a^2sin^2t} acost dt=a^2\int |cost|costdt \\ =a^2\int cos^2tdt=\frac{a^2}{2}\int (1+cos2t)tdt=\frac{a^2}{2}t+\frac{a^2}{4}sin2t+C\\ =\frac{a^2}{2}arcsin \frac{x}{a}+ \frac{a^2}{2}sintcost+C \]例题2
\[求\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx(a>0)\\ 令x=atant\\ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\int \frac{asec^2}{a^2tan^2t+a^2}dt\\ =\int sectdt=ln|sect+tant|+C\\ 再次运用三角形法则。此处省略。\\ =ln|x+ \sqrt{x^2+a^2}|+C\\ (同理:\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=ln|x+ \sqrt{x^2-a^2}|+C)(涉及到绝对值问题) \]例题3
\[求\int \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}dx\\ 令 \sqrt[6]{x}=t\\ \int \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}dx=\int \frac{6t^5}{t^3+t^2}dt=6 \int \frac{t^3+1-1}{t+1}dt\\ =6 \int (t^2-t+1+ \frac{1}{t+1})dx=6(\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{2}t^2-ln(1+t))+C=... \]例题4
\[求\int \frac{x^2}{(2x+1)^{10}}dx\\ 令(2x+1)=t\\ \int \frac{x^2}{(2x+1)^{10}}dx=\frac{1}{8}\int \frac{t^2-2t+1}{t^10}=... \]3. 分部积分
定义:将被积函数分为相乘的两个部分,\(C1(x)\)和\(C2(x)\)。对其中容易求导的一个求导,容易求原函数的求原函数,设其分别为\(L1(x)\)和\(L2(x)\)。将被积函数化为\(g(x)=L1(x)\times L2(x)dx\),有\(\int f(x)dx+\int g(x)dx=C1(x)\times L2(x)dx\),编成一句口诀就是:"求原的真的求原了,求导的并不是真的求导"。
\[原理:\int udv=uv-\int vdu \]\[(uv)'=u'v+uv'\\ \int (uv)'dx=\int u'vdx+\int uv'dx\\ uv=\int vdu+\int udv\\ (也可以使用微分证明) \]证明:
例题1
\[求\int xe^xdx\\ \int xe^xdx+\int e^xdx=xe^x\\ \int xe^xdx=xe^x-e^x+C \]记忆一些常见的分步积分情况
- \(L1(x)=P_k(x),L2(x)=e^{ax}(需要k次不定积分)\)
- \(L1(x)=P_k(x),L2(x)=cosax(需要k次不定积分)\)
- \(L1(x)=P_k(x),L2(x)=sinax(需要k次不定积分)\)
- \(L1(x)=h(arc...x),L2(x)=P(x)(能凑出darc...x则先凑)\)
- \(L1(x)=h(lnx),L2(x)=P(x)(能凑出dlnx则先凑)\)