原文来自：https://www.digitalocean.com/community/tutorials/how-to-install-apache-tomcat-8-on-ubuntu-14-04

并对原文中一些地方进行修改。

1.添加tomcat用户组

sudo groupadd tomcat

2.添加tomcat用户，并分配为tomcat用户组,同时指定tomcat安装目录为/opt/tomcat,/bin/false 指定了该账户不能登录

sudo useradd -s /bin/false -g tomcat -d /opt/tomcat tomcat

3.下载tomcat8:

wget http://archive.apache.org/dist/tomcat/tomcat-8/v8.5.0/bin/apache-tomcat-8.5.0.tar.gz

4.创建tomcat的安装目录/opt/tomcat,并将tomcat解压到该目录

sudo mkdir /opt/tomcat

sudo tar xvf apache-tomcat-8*tar.gz -C /opt/tomcat --strip-components=1

5.将conf 目录加入tomcat用户组,并授予读写执行的权限；为conf目录下的文件授予只读权限。

　　$ sudo chgrp -R tomcat conf

　　$ sudo chmod g+rwx conf

　　$ sudo chmod -R g+r conf/

6.将 work,temp,logs,bin,lib目录的所有者设置为tomcat

　　$ sudo chown -R tomcat work/ temp/ logs/ bin/ lib/ webapps/

7.安装创建启动脚本

查询JAVA_HOME配置，

sudo update-alternatives --config java

或 echo $JAVA_HOME

运行下面命令来创建并打开启动脚本：

$ sudo nano /etc/init/tomcat.conf

粘贴下面内容，并对JAVA_HOME修改，也可以根据服务器合适的设置 CATALINA_OPTS:

description "Tomcat Server"

  start on runlevel [2345]

  stop on runlevel [!2345]

  respawn

  respawn limit 10 5

  setuid tomcat

  setgid tomcat

  env JAVA_HOME=/usr/lib/jvm/java-7-openjdk-amd64/jre

  env CATALINA_HOME=/opt/tomcat

  # Modify these options as needed

  env JAVA_OPTS="-Djava.awt.headless=true -Djava.security.egd=file:/dev/./urandom"

  env CATALINA_OPTS="-Xms512M -Xmx1024M -server -XX:+UseParallelGC"

  exec $CATALINA_HOME/bin/catalina.sh run

  # cleanup temp directory after stop

  post-stop script

    rm -rf $CATALINA_HOME/temp/*

  end script

7.重载启动配置，以加载新的tomcat脚本
sudo initctl reload-configuration
8.使用下面命令启动tomcat:
sudo initctl start tomcat
9.配置tomcat管理后台
在conf/tomcat-users.xml中添加管理员账号：
如

<role rolename="manager-gui"/>
<role rolename="admin-gui"/>
<user username="tomcatadmin" password="1qaz2wsx" roles="manager-gui,admin-gui"/>

10，重启以生效：
sudo initctl restart tomcat
这样就可以访问tomcat管理后台了。

方法二：
可参考：http://www.ubuntugeek.com/install-tomcat-8-on-ubuntu-15-04-server.html
本人尚未验证