OpenJudge  7624:山区建小学

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描述

*在某山区修建了一条道路，恰好穿越总共m个村庄的每个村庄一次，没有回路或交叉，任意两个村庄只能通过这条路来往。已知任意两个相邻的村庄之间的距离为di（为正整数），其中，0 < i < m。为了提高山区的文化素质，*又决定从m个村中选择n个村建小学（设 0 < n < = m < 500 ）。请根据给定的m、n以及所有相邻村庄的距离，选择在哪些村庄建小学，才使得所有村到最近小学的距离总和最小，计算最小值。

输入

第1行为m和n，其间用空格间隔
第2行为(m-1) 个整数，依次表示从一端到另一端的相邻村庄的距离，整数之间以空格间隔。

例如
10 3
2 4 6 5 2 4 3 1 3
表示在10个村庄建3所学校。第1个村庄与第2个村庄距离为2，第2个村庄与第3个村庄距离为4，第3个村庄与第4个村庄距离为6，...，第9个村庄到第10个村庄的距离为3。

输出

各村庄到最近学校的距离之和的最小值。

样例输入

10 2

3 1 3 1 1 1 1 1 3

样例输出

18

因为所求为距离和最小，所以发现选择一个点a建立学校后，以a为中心向两边扩散下一个点所走的距离d=d（前一个点）+d（当前）；期望重复次数越多路段d越小。然后，就有dalao证明了区间[i,j]中在中点处建学校路段和为最小（建1所学校）；脑洞又开到：如果区间内点数为偶数，如何选择中点？手推数据发现其实都是一样的。在此计算的为距离和，所以实则计算的是 d总+=di*重复次数。如图：

考虑DP：从第一个村庄开始扩展，在区间[1,i],每加入一个点i进行决策 。

状态转移方程：f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+w[k+1][i]);

f[i][j] 表示到第i个点建j所学校的最优；在区间[1.i]间枚举断点，断点前为在区间[1，k]建j-1所学校的最优，断点后为在区间[k+1,i]建1所学校的最优。

 #include<cstdio>

 #include<cmath>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 using namespace std;

 int n,m;

 int d[][],f[][],w[][],s[];

 int pre(int a,int b){

     int x=;

     int mid=(a+b)>>;

     for(int i=a;i<=b;++i)

        x+=d[i][mid];

     return x;

 }

 int main(){

     scanf("%d%d",&n,&m);

     for(int i=;i<=n;++i){//s[i]---第i-1个村庄到第i个村庄间的距离

         int x;

         scanf("%d",&x);

         s[i]=s[i-]+x;

     }

     memset(f,0x3f3f3f,sizeof(f));

     for(int i=;i<=n;++i){

        f[i][i]=;

        for(int j=;j<=n;++j){

            if(i==j)d[i][j]=;

            d[i][j]=d[j][i]=abs(s[i]-s[j]);//（i，j）间的距离

        }

     }

     for(int i=;i<=n;++i)//（i，j）建1所小学min

        for(int j=i+;j<=n;++j)

          w[i][j]=pre(i,j);

     for(int i=;i<=n;++i)f[i][]=w[][i];

     for(int i=;i<=n;++i)// 村庄

        for(int j=;j<=min(i,m);++j)//j---学校  min（枚举的村庄数，学校数）

           for(int k=j-;k<i;++k)//min（ f[i][j]，建j-1所学校所达范围（1，k）+新建第j所学校范围（k+1，i））

               if(i!=j)f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-]+w[k+][i]);

     printf("%d",f[n][m]);

     return ;

 }