矩阵乘法和逆矩阵

矩阵乘法

有\(m\times n\)矩阵\(A\)和\(n\times p\)矩阵\(B\)（\(A\)的总列数必须与\(B\)的总行数相等），两矩阵相乘有\(AB=C\)，\(C\)是一个\(m\times p\)矩阵。

行列内积

对于\(C\)矩阵中的第\(i\)行第\(j\)列元素\(c_{ij}\)，有：

\[c_{ij}=row_i\cdot column_j=\sum_{k=i}^na_{ik}b_{kj} \]

整列相乘

利用列向量线性组合的思想：

\(\begin{bmatrix}&&\\A_{col1}&A_{col2}&\cdots&A_{coln}\\&&\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cdots&b_{1j}&\cdots\\\cdots&b_{2j}&\cdots\\\cdots&\vdots&\cdots\\\cdots&b_{nj}&\cdots\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}&&\\\cdots&\left(b_{1j}A_{col1}+b_{2j}A_{col2}+\cdots+b_{nj}A_{coln}\right)&\cdots\\&&\end{bmatrix}\)

上面的运算为\(B\)的第\(j\)个列向量右乘矩阵\(A\)，求得的结果就是\(C\)矩阵的第\(j\)列，即\(C\)的第\(j\)列是\(A\)的列向量以\(B\)的第\(j\)列作为系数所求得的线性组合，\(C_j=b_{1j}A_{col1}+b_{2j}A_{col2}+\cdots+b_{nj}A_{coln}\)。

整行相乘

利用行向量线性组合的思想：

\(\begin{bmatrix}\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\end{bmatrix}\begin{bmatrix}&B_{row1}&\\&B_{row2}&\\&\vdots&\\&B_{rown}&\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\vdots\\\left(a_{i1}B_{row1}+a_{i2}B_{row2}+\cdots+a_{in}B_{rown}\right)\\\vdots\end{bmatrix}\)

上面的运算为\(A\)的第\(i\)个行向量左乘矩阵\(B\)，求得的结果就是\(C\)矩阵的第\(i\)行，即\(C\)的第\(i\)行是\(B\)的行向量以\(A\)的第\(i\)行作为系数所求的的线性组合，\(C_i=a_{i1}B_{row1}+a_{i2}B_{row2}+\cdots+a_{in}B_{rown}\)。

列乘以行

用\(A\)矩阵的列乘以\(B\)矩阵的行，得到的矩阵相加即可：

\(\begin{bmatrix}&&\\A_{col1}&A_{col2}&\cdots&A_{coln}\\&&\end{bmatrix}\begin{bmatrix}&B_{row1}&\\&B_{row2}&\\&\vdots&\\&B_{rown}&\end{bmatrix}=A_{col1}B_{row1}+A_{col2}B_{row2}+\cdots+A_{coln}B_{rown}\)

注意，\(A_{coli}B_{rowi}\)是一个\(m\times 1\)向量乘以一个\(1\times p\)向量，其结果是一个\(m\times p\)矩阵，而所有的\(m\times p\)矩阵之和就是计算结果。

分块

\(\left[\begin{array}{c|c}A_1&A_2\\\hline A_3&A_4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c|c}B_1&B_2\\\hline B_3&B_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c|c}A_1B_1+A_2B_3&A_1B_2+A_2B_4\\\hline A_3B_1+A_4B_3&A_3B_2+A_4B_4\end{array}\right]\)

在分块合适的情况下，可以简化运算。

逆

方阵

首先，并不是所有的方阵都有逆；如果逆存在，则有\(A^{-1}A=I=AA^{-1}\)。

对于方阵，左逆和右逆是相等的，但是对于非方阵（长方形矩阵），其左逆不等于右逆。

对于这些有逆的矩阵，我们称其为可逆的或非奇异的。

判断是否可逆的方法：如果存在非零向量\(x\)，使得\(Ax=0\)，则矩阵\(A\)不可逆。

给定\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&6\end{bmatrix}\),有\(\begin{bmatrix}1&2\\3&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\)，所以\(A\)不可逆。

证明：如果对于非零的\(x\)仍有\(Ax=0\)，而\(A\)有逆\(A^{-1}\)，则\(A^{-1}Ax=0\)，即\(x=0\)，与题设矛盾，得证。

高斯-若尔当（Gauss-Jordan）方法

方法描述：写出增广矩阵\(\begin{bmatrix}A|I\end{bmatrix}\)，即\(A\)右侧放置一个同阶的单位矩阵\(I\)，得到一个新矩阵。然后做矩阵初等变化，直至有\(\begin{bmatrix}I|A^{-1}\end{bmatrix}\)。

设\(A=\begin{bmatrix}1&3\\2&7\end{bmatrix}\)，求\(A^{-1}\)。

解：

\(\left[\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\2&7&0&1\end{array}\right]\xrightarrow{row_2-2row_1}\left[\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\0&1&-2&1\end{array}\right]\xrightarrow{row_1-3row_2}\left[\begin{array}{cc|cc}1&0&7&-3\\0&1&-2&1\end{array}\right]\)

Gauss-Jordan方法的本质是使用消元矩阵\(E\)，对\(A\)进行操作，\(E\left[\begin{array}{c|c}A&I\end{array}\right]\)，利用一步步消元有\(EA=I\)，进而得到\(\left[\begin{array}{c|c}I&E\end{array}\right]\)，其实这个消元矩阵\(E\)就是\(A^{-1}\)，而高斯-若尔当法中的\(I\)只是负责记录消元的每一步操作，待消元完成，逆矩阵就自然出现了。

reference

[1] textbook

[2] mit18.06学习笔记