链同伦
对于链复形

\[A \xrightarrow{d} B \xrightarrow{\partial} C \]

其同调群定义为\(H = \ker \partial / \text{im} d\)。那么对于两个链复形而言，什么时候其同调群是同构的呢？我们想起了奇异同调中的定理：

如果\(X\)与\(Y\)是同伦等价的，那么其奇异同调群满足\(H_n(X) \cong H_n(Y)\)

在这个定理的证明中，对于\(f\)与\(g\)之间的同伦\(F: X \times I \to Y\)，我们构造链映射\(P: C_n(X) \to C_{n+1}(X)\)，满足\(P(\triangle^n \to X) =(\triangle^n\times I \to Y)\)。如此一来，对于\(n\)闭链\(\alpha\)我们有

\[\partial P(\alpha) = f(\alpha) - g(\alpha) - P(\partial \alpha) = f(\alpha) - g(\alpha) \]

我们采取构造\(P\)的思路来构造链复形上的链同伦。对链映射\(f,g\)，如果\(h: A^n\to B^{n-1}\)满足\(f-g = \partial_B h + h \partial_A\)，就称\(h\)是\(f, g\)之间的链同伦。如果存在链映射\(f: X\to Y, g: Y \to X\)满足\(f\circ g \sim 1_Y, g \circ f \sim 1_X\)，那么就称链复形\(X, Y\)是同伦等价的。

Tor函子与Ext函子

设\(M\)是左模，考虑链复形

\[\dots \to P_n \to \dots \to P_1 \to P_0 \to M \to 0 \]

如果每个\(P_n\)都是投射模，则称其为\(M\)的投射分解；如果每个\(P_n\)都是平坦模，则称其为\(M\)的平坦分解。对称的，如果\(M\)是右模，考虑上链复形

\[0 \to M \to C^0 \to C^1 \to \dots \to C^n \to \dots \]

如果每个\(C^n\)都是内射模，则称其为\(M\)的内射分解。这些分解在链同伦意义下是唯一的。

投射分解是正合列，其同调群永远为0。但是我们可以考虑函子\(A \otimes -\)和\(\text{Hom}(-,C)\)。将\(A \otimes -\)作用在投射分解上就得到链复形

\[\dots \to A\otimes P_n \to \dots \to A\otimes P_1 \to A\otimes P_0 \to 0 \]

这样一来，我们就可以定义\(\text{Tor}_n(A, M)\)为这个链复形的第\(n\)阶同调群。类似的，将其对偶函子\(\text{Hom}(-,C)\)作用在投射分解上就得到

\[\dots \to \text{Hom}(P_n,C) \leftarrow \dots \leftarrow \text{Hom}(P_1,C) \leftarrow \text{Hom}(P_0,C) \leftarrow 0 \]

从而定义\(\text{Ext}^n(M, C)\)为这个上链复形的第\(n\)阶上同调群。

我们也可以用平坦分解和内射分解来定义\(\text{Tor}\)和\(\text{Ext}\)。如果

\[\dots \to P_n \to \dots \to P_1 \to P_0 \to M \to 0 \]

是\(M\)的平坦分解，那么将\(-\otimes B\)作用其上就得到链复形

\[\dots \to P_n\otimes B \to \dots \to P_1\otimes B \to P_0\otimes B \to 0 \]

它的同调群就是\(\text{Tor}_n(M, B)\)。而对于内射分解

\[0 \to M \to C^0 \to C^1 \to \dots \to C^n \to \dots \]

将\(\text{Hom}(B,-)\)作用其上得到链复形

\[0 \to \text{Hom}(B, C^0) \to \text{Hom}(B, C^1) \to \dots \to \text{Hom}(B, C^n) \to \dots \]

其上同调群就是\(\text{Ext}^n(B, M)\)。