Description

　　铭铭有n个十分漂亮的珠子和若干根颜色不同的绳子。现在铭铭想用绳子把所有的珠子连接成一个整体。

　　现在已知所有珠子互不相同，用整数1到n编号。对于第i个珠子和第j个珠子，可以选择不用绳子连接，或者在ci,j根不同颜色的绳子中选择一根将它们连接。如果把珠子看作点，把绳子看作边，将所有珠子连成一个整体即为所有点构成一个连通图。特别地，珠子不能和自己连接。

　　铭铭希望知道总共有多少种不同的方案将所有珠子连成一个整体。由于答案可能很大，因此只需输出答案对1000000007取模的结果

Solution

用总数减去不连通的就是答案

设 \(f[S]\) 表示 \(S\) 集合中,所有点连通的图的方案.

设 \(g[S]\) 表示 \(S\) 集合中任意连边.

\(f[S]=g[S]-\sum_{S'∈S}f[S']*g[S\)^\(S']\)

玩样例发现,这样做会减多,因为 \(g[S\)^\(S']\) 的方案中也有连通图,所以在连通时\(f[S']\)和\(g[S\)^\(S']\)是对称的,会重复

所以需要强制定一个节点作为代表元,\(S'\)集合必须包含这个点

神奇的是:

按理来说写成这样才对:

  for(int i=1;i<=m;i++){

    for(int S=i&(i-1);S;S=i&(S-1))

      if(!((i^S)&(i&(-i))))f[i]=(f[i]+1ll*f[S]*g[i^S])%mod;

    f[i]=(g[i]-f[i]+mod)%mod;

  }

写成这样也对了,懵逼.jpg

  for(int i=1;i<=m;i++){

    for(int S=i&(i-1);S;S=i&(S-1))

      if(!((i^S)&1))f[i]=(f[i]+1ll*f[S]*g[i^S])%mod;

    f[i]=(g[i]-f[i]+mod)%mod;

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=18,mod=1e9+7;

int f[1<<16],g[1<<16],c[N][N],n;

int main(){

  freopen("pp.in","r",stdin);

  freopen("pp.out","w",stdout);

  scanf("%d",&n);

  for(int i=1;i<=n;i++)

    for(int j=1;j<=n;j++)

      scanf("%d",&c[i][j]);

  int m=(1<<n)-1;

  for(int i=0;i<=m;i++){

    g[i]=1;

    for(int j=1;j<=n;j++)

      if(i&(1<<(j-1)))

	for(int k=j+1;k<=n;k++)

	  if((i&(1<<(k-1))))g[i]=1ll*g[i]*(c[j][k]+1)%mod;

  }

  for(int i=1;i<=m;i++){

    for(int S=i&(i-1);S;S=i&(S-1))

      if(!((i^S)&1))f[i]=(f[i]+1ll*f[S]*g[i^S])%mod;

    f[i]=(g[i]-f[i]+mod)%mod;

  }

  printf("%d\n",f[m]);

  return 0;

}