第1题
不断掷出一个均匀的六面骰子, 问首次掷出6前掷出的都是偶数的条件下, 首次掷出6的步数的期望?
观察到把条件中的6替换为1, 3, 5, 6结果都是一样的. 因此要求的期望等于首次掷出1, 3, 5, 6前掷出的都是偶数的条件下, 首次掷出1, 3, 5, 6的步数的期望, 等于首次掷出1, 3, 5, 6的步数的期望. 而后者是参数为\(2/3\)的几何分布的期望, 故而答案为\(3/2\).
第2题
不断掷出一个均匀的六面骰子, 问首次掷出6前掷出的数不降的条件下, 首次掷出6的步数的期望?
令\(X\)为首次掷出6的步数, \(A\)为首次掷出6前掷出的数不降这一事件. 则
\[\begin{equation*} P( X=n,A) =\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{6}\right) \cdot \frac{N( n-1,1) +\cdots +N( n-1,5)}{5^{n-1}} \end{equation*} \]
其中\(N( n,m)\)表示掷\(n\)次骰子, 不降, 且最后一次是\(m\)的种类数. 显然
\[\begin{gather*} N( n,m) =N( n-1,1) +N( n-1,2) +\cdots +N( n-1,m) ,\\ N( 1,1) =\cdots =N( 1,5) =1 \end{gather*} \]
递归得到
\[\begin{equation*} N(n,m)=\begin{pmatrix} n+m-2\\ n-1 \end{pmatrix} \end{equation*} \]
因此
\[\begin{equation*} P( X=n,A) =\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{6}\right) \cdot \frac{1}{5^{n-1}}\begin{pmatrix} n+3\\ 4 \end{pmatrix} =\frac{1}{6^{n}}\begin{pmatrix} n+3\\ 4 \end{pmatrix} \end{equation*} \]
那么
\[\begin{align*} E(X|A) & =\sum ^{\infty }_{n=1} nP( X=n|A) =\sum ^{\infty }_{n=1} n\frac{P( X=n,A)}{P( A)} =\frac{\sum ^{\infty }_{n=1} nP( X=n,A)}{\sum ^{\infty }_{n=1} P( X=n,A)}\\ & =\frac{\sum ^{\infty }_{n=1}\frac{n}{6^{n}}\begin{pmatrix} n+3\\ 4 \end{pmatrix}}{\sum ^{\infty }_{n=1}\frac{1}{6^{n}}\begin{pmatrix} n+3\\ 4 \end{pmatrix}} \end{align*} \]
使用生成函数求解得到
\[\begin{align*} \sum ^{\infty }_{n=1}\frac{n}{6^{n}}\begin{pmatrix} n+3\\ 4 \end{pmatrix} & =\frac{6^{3}}{4!}\left[ x\left(\frac{6}{6-x}\right)^{( 4)}\right]^{'}_{x=1} =2\cdot \frac{6^{4}}{5^{5}}\\ \sum ^{\infty }_{n=1}\frac{1}{6^{n}}\begin{pmatrix} n+3\\ 4 \end{pmatrix} & =\frac{6^{3}}{4!}\left[\left(\frac{6}{6-x}\right)^{( 4)}\right]_{x=1} =\frac{6^{4}}{5^{5}} \end{align*} \]
因此
\[\begin{equation*} E( X|A) =2 \end{equation*} \]