高数——常数变易法的补充

在https://www.cnblogs.com/lookof/archive/2009/01/06/1370065.html该文中讲解了常数变易法的由来——变量代换法。此处略作补充。

一阶线性微分方程: y’+P(x)·y = Q(x)…….(1)

关键代换是:y=uv,u、v分别是关于x的函数,方程(1)可代换为:u’·v+u·(v’+P(x) ·v) = Q(x) ………(2)

此处关键点在于,任意关于x的函数y(x),可以表示为另外两个关于x的函数,u(x)与v(x)的积。因为v(x)为任意函数,故可以令v’+P(x) ·v=0,即v(x)满足方程(1)在Q(x)=0时,求其齐次方程,这样可以使得(2)转为:(du/dx)·v(x)=Q(x),这是一个典型的可分离变量微分方程,求得u。最后可得y=uv。

所谓常数变易法,也是先解出(1)的齐次方程解(即v),再代入其中解出整个y。

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