多元函数可微性

• *全微分定义
• f(x,y)可微性判断
• 隐函数存在定理
• 偏导数
• • 定义法
  • 公式法
  • 偏导数连续性判断
• 极值
• • 无条件极值
  • 条件极值与拉格朗日乘数法
  • 二元函数在区域D下的最值

*全微分定义

z = f ( x , y ) 在 ( x , y ) 处 的 全 增 量 Δ a = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) 。 A , B 不 依 赖 于 Δ x 、 Δ y 且 仅 与 x , y 有 关 。 则 称 z = f ( x , y ) 在 ( x , y ) 处 可 微 。 z=f(x,y)在(x,y)处的全增量\varDelta a=A\varDelta x+B\varDelta y+o(\rho)。A,B不依赖于\varDelta x、\varDelta y且仅与x,y有关。则称z=f(x,y)在(x,y)处可微。 z=f(x,y)在(x,y)处的全增量Δa=AΔx+BΔy+o(ρ)。A,B不依赖于Δx、Δy且仅与x,y有关。则称z=f(x,y)在(x,y)处可微。

称 A Δ x + B Δ y 为 z = f ( x , y ) 在 ( x , y ) 处 的 全 微 分 。 称A\varDelta x+B\varDelta y为z=f(x,y)在(x,y)处的全微分。 称AΔx+BΔy为z=f(x,y)在(x,y)处的全微分。

记 作 d z = A Δ x + B Δ y = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y \begin{aligned} 记作dz&=A\varDelta x+B\varDelta y\\ &=\cfrac{\partial z}{\partial x}dx+\cfrac{\partial z}{\partial y}dy \end{aligned} 记作dz​=AΔx+BΔy=∂x∂z​dx+∂y∂z​dy​

f(x,y)可微性判断

1. 写出全增量 Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) ; \varDelta z=f(x_0+\varDelta x,y_0+\varDelta y)-f(x_0,y_0); Δz=f(x0​+Δx,y0​+Δy)−f(x0​,y0​);
2. 写出线性增量 A Δ x + B Δ y ， 其 中 A = f x ′ ( x 0 , y 0 ) ， B = f y ′ ( x 0 , y 0 ) ; A\varDelta x+B\varDelta y，其中A=f_x'(x_0,y_0)，B=f_y'(x_0,y_0); AΔx+BΔy，其中A=fx′​(x0​,y0​)，B=fy′​(x0​,y0​);
3. 作极限 lim ⁡ Δ x → 0 Δ y → 0 Δ z − ( A Δ x + B Δ y ) ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 = 0 ， 则 z = f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处 可 微 。 \lim\limits_{\varDelta x\to0\atop \varDelta y\to0}\cfrac{\varDelta z-(A\varDelta x+B\varDelta y)}{\sqrt{(\varDelta x)^2+(\varDelta y)^2}}=0，则z=f(x,y)在(x_0,y_0)处可微。 Δy→0Δx→0​lim​(Δx)2+(Δy)2 ​Δz−(AΔx+BΔy)​=0，则z=f(x,y)在(x0​,y0​)处可微。

隐函数存在定理

设 函 数 F ( x , y ) 在 点 P ( x 0 , y 0 ) 的 某 一 邻 域 内 具 有 连 续 偏 导 数 , F ( x 0 , y 0 ) = 0 且 F y ′ ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 , 则 方 程 F ( x , y ) = 0 在 点 ( x 0 , y 0 ) 的 某 一 邻 域 内 能 唯 一 确 定 一 个 连 续 且 具 有 连 续 导 数 的 函 数 y = f ( x ) , 它 满 足 条 件 y 0 = f ( x 0 ) , 并 有 d y d x = − F x ′ F y ′ . 设函数 F(x,y)在点P(x_0,y_0)的某一邻域内具有连续偏导数,\\ F(x_0,y_0)=0且F'_y (x_0,y_0)≠0,则方程F(x,y)=0在点(x_0,y_0)的某一邻域内\\ 能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x),\\ 它满足条件y_0=f(x_0),并有\cfrac{dy}{dx}=-\cfrac{F_x'}{F_y'}. 设函数F(x,y)在点P(x0​,y0​)的某一邻域内具有连续偏导数,F(x0​,y0​)=0且Fy′​(x0​,y0​)​=0,则方程F(x,y)=0在点(x0​,y0​)的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x),它满足条件y0​=f(x0​),并有dxdy​=−Fy′​Fx′​​.

这里
F ( x 0 , y 0 ) = 0 F(x_0,y_0)=0 F(x0​,y0​)=0：函数值存在；
F y ′ ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 F'_y (x_0,y_0)≠0 Fy′​(x0​,y0​)​=0：偏导数值存在；

偏导数

f具有二阶连续偏导数，求导次序可以交换。

定义法

z = f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处 对 x 的 偏 导 数 ; z=f(x,y)在(x_0,y_0)处对x的偏导数; z=f(x,y)在(x0​,y0​)处对x的偏导数;

f x ′ ( x 0 , y 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x f_x'(x_0,y_0)=\lim\limits_{\varDelta x\to 0}\cfrac{f(x_0+\varDelta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\varDelta x} fx′​(x0​,y0​)=Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx,y0​)−f(x0​,y0​)​

公式法

f x ( x , y ) 直 接 对 x 求 导 f_x(x,y)直接对x求导 fx​(x,y)直接对x求导

偏导数连续性判断

1. 定义法求 f x ′ ( x 0 , y 0 ) , f y ′ ( x 0 , y 0 ) ; f_x'(x_0,y_0),f_y'(x_0,y_0); fx′​(x0​,y0​),fy′​(x0​,y0​);
2. 公式法求 f x ′ ( x , y ) , f y ′ ( x , y ) ; f_x'(x,y),f_y'(x,y); fx′​(x,y),fy′​(x,y);
3. 计算 lim ⁡ Δ x → x 0 Δ y → y 0 f x ′ ( x , y ) , lim ⁡ Δ x → x 0 Δ y → y 0 f y ′ ( x , y ) ; \lim\limits_{\varDelta x\to x_0\atop \varDelta y\to y_0}f_x'(x,y),\lim\limits_{\varDelta x\to x_0\atop \varDelta y\to y_0}f_y'(x,y); Δy→y0​Δx→x0​​lim​fx′​(x,y),Δy→y0​Δx→x0​​lim​fy′​(x,y);
4. 若 lim ⁡ Δ x → x 0 Δ y → y 0 f x ′ ( x , y ) = f x ′ ( x 0 , y 0 ) , lim ⁡ Δ x → x 0 Δ y → y 0 f y ′ ( x , y ) = f y ′ ( x 0 , y 0 ) ， 则 z = f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处 连 续 。 \lim\limits_{\varDelta x\to x_0\atop \varDelta y\to y_0}f_x'(x,y)=f_x'(x_0,y_0),\lim\limits_{\varDelta x\to x_0\atop \varDelta y\to y_0}f_y'(x,y)=f_y'(x_0,y_0)，则z=f(x,y)在(x_0,y_0)处连续。 Δy→y0​Δx→x0​​lim​fx′​(x,y)=fx′​(x0​,y0​),Δy→y0​Δx→x0​​lim​fy′​(x,y)=fy′​(x0​,y0​)，则z=f(x,y)在(x0​,y0​)处连续。

极值

无条件极值

1. 二元函数取极值的必要条件；
   设 z = f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) { 一 阶 偏 导 数 存 在 取 极 值 ， 则 f x ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 , f y ′ ( x 0 , y 0 ) = 0. 设z=f(x,y)在(x_0,y_0)\begin{cases} 一阶偏导数存在 \\ 取极值 \end{cases}，则f_x'(x_0,y_0)=0,f_y'(x_0,y_0)=0. 设z=f(x,y)在(x0​,y0​){一阶偏导数存在取极值​，则fx′​(x0​,y0​)=0,fy′​(x0​,y0​)=0.
2. 二元函数取极值的充分条件；
   { f x x ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = a f x y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = b f y y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = c , Δ = b 2 − a c { < 0 ⇒ 极 值 { a < 0 ⇒ 极 大 值 a > 0 ⇒ 极 小 值 > 0 ⇒ 非 极 值 = 0 ⇒ 方 法 失 效 \begin{cases} f_{xx}''(x_0,y_0)=a \\ f_{xy}''(x_0,y_0)=b\\ f_{yy}''(x_0,y_0)=c \end{cases},\varDelta = b^2-ac\begin{cases} \lt0\rArr极值\begin{cases} a<0\rArr极大值 \\ a>0\rArr极小值 \end{cases}\\ \gt0\rArr非极值\\ =0\rArr方法失效 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​fxx′′​(x0​,y0​)=afxy′′​(x0​,y0​)=bfyy′′​(x0​,y0​)=c​,Δ=b2−ac⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​<0⇒极值{a<0⇒极大值a>0⇒极小值​>0⇒非极值=0⇒方法失效​

条件极值与拉格朗日乘数法

求 u = f ( x , y , z ) 在 条 件 { φ ( x , y , z ) = 0 Φ ( x , y , z ) = 0 下 的 最 值 。 求u=f(x,y,z)在条件\begin{cases} \varphi(x,y,z)=0\\ \varPhi(x,y,z)=0 \end{cases}下的最值。 求u=f(x,y,z)在条件{φ(x,y,z)=0Φ(x,y,z)=0​下的最值。

1. 构 造 辅 助 函 数 F ( x , y , z , λ , μ ) = f ( x , y , z ) + λ φ ( x , y , z ) + μ Φ ( x , y , z ) . 构造辅助函数F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda\varphi(x,y,z)+\mu\varPhi(x,y,z). 构造辅助函数F(x,y,z,λ,μ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)+μΦ(x,y,z).
2. 令 { F x ′ = f x ′ + λ Φ x ′ + μ φ x ′ = 0 F y ′ = f y ′ + λ Φ y ′ + μ φ y ′ = 0 F z ′ = f z ′ + λ Φ z ′ + μ φ z ′ = 0 F λ ′ = Φ ( x , y , z ) = 0 F μ ′ = φ ( x , y , z ) = 0 \begin{cases} F_x'=f_x'+\lambda\varPhi_x'+\mu\varphi_x'=0\\ F_y'=f_y'+\lambda\varPhi_y'+\mu\varphi_y'=0\\ F_z'=f_z'+\lambda\varPhi_z'+\mu\varphi_z'=0\\ F_{\lambda}'=\varPhi(x,y,z)=0\\ F_{\mu}'=\varphi(x,y,z)=0 \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​Fx′​=fx′​+λΦx′​+μφx′​=0Fy′​=fy′​+λΦy′​+μφy′​=0Fz′​=fz′​+λΦz′​+μφz′​=0Fλ′​=Φ(x,y,z)=0Fμ′​=φ(x,y,z)=0​
3. 解 上 述 方 程 得 若 干 点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) … ( x n , y n , z n ) ， 取 u m a x     o r     u m i n . 解上述方程得若干点(x_0,y_0,z_0)\dots(x_n,y_n,z_n)，取u_{max}\ \ \ or\ \ \ u_{min}. 解上述方程得若干点(x0​,y0​,z0​)…(xn​,yn​,zn​)，取umax​   or   umin​.

二元函数在区域D下的最值

①只需求出D的内部及 ⇒ 无 条 件 极 值 问 题 ， 求 出 f x ′ = 0 , f y ′ = 0 的 所 有 可 疑 点 。 \rArr无条件极值问题，求出f_x'=0, f_y'=0的所有可疑点。 ⇒无条件极值问题，求出fx′​=0,fy′​=0的所有可疑点。
②D的边界 ⇒ { 直 接 带 入 求 驻 点 或 导 数 不 存 在 的 点 拉 格 朗 日 乘 数 法 \rArr\begin{cases} 直接带入求驻点或导数不存在的点 \\ 拉格朗日乘数法 \end{cases} ⇒{直接带入求驻点或导数不存在的点拉格朗日乘数法​
上的驻点和导数不存在的点(不用判断它们是否为极值点),
并求出这些点的函数值,然后比较它们的大小,求出最大值和最小值.