洛谷 P1011 车站

链接

https://www.luogu.org/problem/P1011

题目

题目描述

火车从始发站（称为第1站）开出，在始发站上车的人数为a，然后到达第2站，在第22站有人上、下车，但上、下车的人数相同，因此在第2站开出时（即在到达第3站之前）车上的人数保持为a人。从第3站起（包括第3站）上、下车的人数有一定规律：上车的人数都是前两站上车人数之和，而下车人数等于上一站上车人数，一直到终点站的前一站（第n-1站），都满足此规律。现给出的条件是：共有N个车站，始发站上车的人数为a，最后一站下车的人数是m（全部下车）。试问x站开出时车上的人数是多少？

输入格式

a(≤20)，n(≤20)，m(≤2000)，和x(≤20)，

输出格式

从x站开出时车上的人数。

输入输出样例

输入 #1

　　5 7 32 4

输出 #1

　　13

图解

站序号(i)	上车(f)	下车(g)	剩余人数(k)
1	a	0	a
2	t	t	a
3	a+t	t	2a
4	a+2t	a+t	2a+t
5	2a+3t	a+2t	3a+2t
6	0	3a+2t	0

思路

总结一下规律(中间几站)

1. 每一站下车人数等于上一站上车人数
2. 每一站上车人数等于前两站上车人数和

我们假设第6站就全部下车，可以得到图解中的表格，归纳总结可以发现
(s为斐波那契数列，直接可以计算)

1. g(i) = f(i-1)
2. f(i) = f(i-1) + f(i-2)
3. g(n) = f(n-1) + a - t = m
4. f(i) = s(i-2)*a + s(i-1)*t
5. k(i) = f(i) + f(1) - g(2)

之后我们就能发现，我们需要的k(x) = f(x) + a - t,推导后只需要两个等式

  1. m - [s(n-3) + 1]*a = [s(n-2) - 1]*t
  2. k(x) = [s(x-2) + 1]*a + [s(x-1) - 1]*t

给了我们m,a,n,我们由公式1算出t，公式2算出k(x)即可。

代码

#include<iostream>

using namespace std;


int main()
{

    int a,n,m,x,t;
    cin>>a>>n>>m>>x;
    int s[n];
    s[1]=1;
    s[2]=1;
    for(int i=3;i<=n;i++)
     s[i]=s[i-1]+s[i-2];
     
    t=(m-(s[n-3]+1)*a)/(s[n-2]-1);
    cout<<(s[x-2]+1)*a+(s[x-1]-1)*t;

    return 0;
}