1. 随机变量
- 设随机试验的样本空间为S={e}. X=X(e) 是定义在样本空间S上的实值单值函数。称X=X(e)为随机变量
2. 离散型随机变量
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定义: 全部可能取到的值为有限个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量
骰子的点数,打靶环数,某城市120急救电话一昼夜收到的呼叫次数,都是离散型随机变量
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设离散型随机变量X所有可能取的值为xk(k=1,2,⋯) ,X取各个可能值的概率,即事件X=xk 的概率,为 P{X=xk}=Pk,k=1,2,⋯
我们称该式为离散型随机变量的分布律
- 性质:
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1o pk≥0,k=1,2,3,⋯;
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2o ∑k=1∞pk=1.
3. 离散型随机变量常见分布
3.1 (0-1)分布
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设随机变量可能的取值只有0和1,它的分布律为 P{X=k}=pk(1−p)k,k=0,1 ,记做X服从以p为参数的(0-1)分布或两点分布
X |
0 |
1 |
pk |
1−p |
p |
新生儿性别,抛硬币,产品质量是否合格 等可以用(0-1)分布的离散型随机变量来表示
3.2 二项分布
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设试验E只有两种可能结果:A及A ,则称E为伯努利试验 。 设P(A)=p,则P(A)=1−p .
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将E 独立重复地进行n次, 则称这一连串独立的重复试验为n重伯努利试验
例如,抛硬币,A表示正面,这就是伯努利试验,将硬币抛n次,就是n重伯努利试验。 掷骰子,A表示等到1点,A 表示得到的是非1点,也叫一次伯努利试验等
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以X表示n重伯努利试验中,事件A发生的次数,p表示事件A发生的概率,q=1-p 表示A不发生的概率(即A发生的概率) ,则有
P{X=k}=(kn)pkqn−kk=0,1,2⋯,n
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∑k=0nP{X=k}=∑k=0n(kn)pkqn−k=(p+q)n=1
- 二项式 (a+b)n=(0n)an−0b0+(1n)an−1b1+⋯+(n−1n)an−(n−1)bn−1+(nn)an−nbn=∑k=0n(kn)an−kbk
我们发现 (kn)pkqn−k 刚好是 (p+q)n 展开式中出现pk的那一项,因此,我们称随机变量X服从以n,p为参数的二项分布,记做 X∼b(n,p)
3.3 泊松分布
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设随机变量X的可能取值为0,1,2,⋯ 而各个取值的概率为 P{X=k}=k!λke−λk=0,1,2,⋯ 其中λ>0 为常数,则称X服从以λ为参数的泊松分布,记做 X∼π(λ)
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∑k=0∞P{X=k}=∑k=0∞k!λke−λ=e−λ∑k=0∞k!λk=e−λ⋅eλ=1
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其中 ∑k=0∞k!λk=eλ 证明如下,需要用到泰勒公式
泰勒公式
如果函数f(x)在x0的某个邻域U(x0)内具有(n+1)阶导数,那么对任一x∈U(x0) 有 f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)
即 f(x)=∑n=0Nn!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x) 当 x0=0 时,有 f(x)=∑n=0Nn!f(n)(0)xn+Rn(x)
此时有 ex=∑n=0Nn!(ex)(n)(0)xn+Rn(x)∵(ex)(n)=ex∴(ex)(n)(0)=1∴ex=∑n=0Nn!1xn+Rn(x),Rn(x)为关于xn的高阶无穷小,则ex≈∑n=0Nn!1xn
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∴有eλ=∑k=0∞k!λk成立
一本书一页中的印刷错误数,某医院在一天内的急诊病人数,某一个地区一个时间间隔内发生交通事故的次数等均服从泊松分布
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泊松定理 设λ>0是一个常数,n是任意正整数,设npn=λ ,则对于任一固定的非负整数k,有n→∞lim(kn)pnk(1−pn)n−k=k!λke−λ
证明如下 :
∵λ=npn∴pnn→∞lim(kn)pnk(1−pn)n−k∵∴n→∞lim(kn)pnk(1−pn)n−k=nλ=n→∞limk!(n−k)!n!nkλk(1−nλ)n−k=n→∞limk!λknk(n−k+1)!(1−nλ)n(1−nλ)−k=n→∞limk!λk[1⋅(1−n1)(1−n2)⋯(1−nk−1)](1−nλ)n(1−nλ)−kn→∞lim[1⋅(1−n1)(1−n2)⋯(1−nk−1)]=1n→∞lim(1−nλ)n=e−λn→∞lim(1−nλ)−k=1=k!λke−λ
3.4 几何分布
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在伯努利试验中,记每次试验中事件A发生的概率为p,试验进行到事件A出现时停止,此时所进行的试验次数为X,其分布率为 P{X=k}=(1−p)k−1pk=1,2,3,⋯ , 则称X服从p为参数的几何分布,记作 X∼G(p)
k=1∑∞P{X=k}∴k=1∑∞P{X=k}=k=1∑∞(1−p)k−1p=pk=1∑∞(1−p)k−1=p1−(1−p)1−(1−p)k−1(1−p)=1−(1−p)k∵0≤p≤1k→+∞=1
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几何分布用来描述n次伯努利试验中,事件A 首次发生的概率
3.5 超几何分布
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在产品质量的不放回抽检中,若N件产品中有M件次品,抽检n件时所得次品数X=k,此时有P{X=k}=(nN)(kM)(n−kN−M)k=0,1,⋯,min{n,M}.
称X服从以n,N,M 为参数的超几何分布,记做X∼H(n,M,N)
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当N→+∞时,超几何分布可用二项分布近似计算,此时有 NM→P
证明如下:
首先我们要明确要证明的等式是 当N→+∞时 P{X=k}=(nN)(kM)(n−kN−M)=(kn)pkqn−k ,即 limn→+∞(nN)(kM)(n−kN−M)=(kn)pkqn−k.
n→+∞lim(nN)(kM)(n−kN−M)∴n→+∞lim(nN)(kM)(n−kN−M)∴命题得证=n→+∞limk!(M−k)!M!(n−k)!(N−M−n+k)!(N−M)!N!n!(N−n)!=n→+∞limk!(n−k)!n!NkM(M−1)⋯(M−k+1)(n−k)!(N−M−n+k)!(N−M)!N(N−1)⋯(N−n+1)Nk(Nk为构造出来的中间量)k!(n−k)!n!=(kn),n→+∞limNkM(M−1)⋯(M−k+1)=n→+∞limNM(NM−N1)⋯(NM−Nk+N1)=(NM)k,N(N−1)⋯(N−n+1)Nk=N(N−1)⋯(N−k+1)(N−k)(N−k−1)⋯(N−n+1)Nk=1⋅(1−N1)(1−N2)⋯(1−Nk+N1)(N−k)(N−k−1)⋯(N−n+1)1∴n→+∞limN(N−1)⋯(N−n+1)Nk=n→+∞lim(N−k)(N−k−1)⋯(N−n+1)1,=n→+∞lim(kn)(NM)kNn−k(N−M)(N−M−1)⋯(N−M−n+k+1)(N−k)(N−k−1)⋯(N−n+1)Nn−k(Nn−k为构造出来的中间量)=n→+∞lim(kn)(NM)k[(1−NM)(1−NM−N1)⋯(1−NM−Nn−k−1)][(1−Nk)(1−Nk+1)⋯(1−Nn−1)1]=(kn)(NM)k(1−NM)n−k
- 需要注意的是,前面我们说到,计算二项分布时,可用泊松分布近似,因此在利用二项分布近似计算超几何分布时,可根据情况,对二项分布使用泊松进行分布进行近似计算