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二维随机变量及其分布
1.二维随机变量
设E是随机试验，样本空间Ω={ω}，由X=X(ω),Y=Y(ω)构成的向量(X,Y)称为二维随机变量
2.联合分布函数
设(X,Y)是二维随机变量，x，y是两个任意实数，则称定义在平面上的二元函数P{X≤x，Y≤y}为(X,Y)的分布函数，或称为X和Y的联合分布函数，记作F(x,y),即
F
(
x
,
y
)
=
P
{
X
≤
x
，
Y
≤
y
}
F(x,y)=P\{X≤x，Y≤y\}
F(x,y)=P{X≤x，Y≤y}
联合分布函数的性质：
（1）0≤F(x,y)≤1，且F(-∞,y)=F(x,-∞)=F(-∞,-∞)=0，F(+∞,+∞)=1
（2）F(x,y)是变量x或y的单调不减函数
（3）F(x,y)=F(x+0,y)，F(x,y)=F(x,y+0)，F(x,y)关于x或y都是右连续的
（4）对任意的(x1,y1),(x2,y2)：当x1<x2，y1<y2时有
P { x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 1 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) + F ( x 1 , y 1 ) P\{x_{1}<X≤x_{2},y_{1}<Y≤y_{2}\}=F(x_{2},y_{2})-F(x_{1},y_{2})-F(x_{2},y_{1})+F(x_{1},y_{1}) P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)−F(x1,y2)−F(x2,y1)+F(x1,y1)
3.二维离散型随机变量
若(X,Y)所有可能取值为( x i , y j x_{i},y_{j} xi,yj)， i ， j = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ i，j=1,2,··· i，j=1,2,⋅⋅⋅，则
P { X = x i , Y = y j } = p i j P\{X=x_{i},Y=y_{j}\}=p_{ij} P{X=xi,Y=yj}=pij
称为联合分布律，联合分布律可列表如下：
| p p p Y Y Y X \\X X | y 1 y_{1} y1 ··· y 1 y_{1} y1 ··· |
|---|---|
|
x
1
x_{1}
x1 ··· x i x_{i} xi ··· |
p
11
p_{11}
p11 ···
p
1
j
p_{1j}
p1j ··· ··· ··· p i 1 p_{i1} pi1 ··· p i j p_{ij} pij ··· ··· ··· |
联合分布律的性质： p i j ≥ 0 ， ∑ i = 1 ∞ ∑ j = 1 ∞ = 1 p_{ij}≥0，\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}=1 pij≥0，∑i=1∞∑j=1∞=1
4.二维连续型随机变量
若分布函数 F ( x , y ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( μ , ν ) d μ d ν F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(μ,ν)dμdν F(x,y)=∫−∞x∫−∞yf(μ,ν)dμdν，则称(X,Y)是连续型随机变量，f(x,y)称为(X,Y)的联合概率密度
联合概率密度的性质：
（1）
f
(
x
,
y
)
≥
0
;
f(x,y)≥0;
f(x,y)≥0;
∫
−
∞
+
∞
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
1
;
\int^{+\infty}_{-\infty}\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dxdy=1;
∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y)dxdy=1;
（2）若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处连续，则 ∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y = f ( x , y ) . \frac{\partial^2F(x,y) }{\partial x\partial y}=f(x,y). ∂x∂y∂2F(x,y)=f(x,y).
（3）设G是xOy平面上一个区域，则 P { ( X , Y ) ∈ G } = ∬ G f ( x , y ) d x d y . P\{(X,Y)∈G\}=\iint_{G}f(x,y)dxdy. P{(X,Y)∈G}=∬Gf(x,y)dxdy.
边缘分布
1.边缘分布函数
设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，分别称函数
F X ( x ) = lim y → + ∞ F ( x , y ) = F ( x , + ∞ ) F_{X}(x)=\lim_{y\rightarrow +\infty}F(x,y)=F(x,+\infty) FX(x)=limy→+∞F(x,y)=F(x,+∞)和 F Y ( y ) = lim x → + ∞ F ( x , y ) = F ( + ∞ , y ) F_{Y}(y)=\lim_{x\rightarrow +\infty}F(x,y)=F(+\infty,y) FY(y)=limx→+∞F(x,y)=F(+∞,y)
为(X,Y)的边缘分布函数
2.边缘分布律
设二维离散型随机变量
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y)的联合分布律为
P
{
X
=
x
i
,
Y
=
y
j
}
=
p
i
j
P\{X=x_{i},Y=y_{j}\}=p_{ij}
P{X=xi,Y=yj}=pij
则分别称
p
i
⋅
=
∑
j
=
1
∞
p
i
j
=
P
{
X
=
x
i
}
(
i
=
1
,
2
,
⋅
⋅
⋅
)
p_{i·}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=P\{X=x_{i}\}(i=1,2,···)
pi⋅=∑j=1∞pij=P{X=xi}(i=1,2,⋅⋅⋅)
和
p
⋅
j
=
∑
i
=
1
∞
p
i
j
=
P
{
Y
=
Y
j
}
(
j
=
1
,
2
,
⋅
⋅
⋅
)
p_{·j}=\sum_{i=1}^{\infty}p_{ij}=P\{Y=Y_{j}\}(j=1,2,···)
p⋅j=∑i=1∞pij=P{Y=Yj}(j=1,2,⋅⋅⋅)
为 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)关于 X X X和 Y Y Y的边缘分布律。
3.边缘概率密度
设二维连续型随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的概率密度为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y),则
f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy和 f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx fY(y)=∫−∞+∞f(x,y)dx
分别称为 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)关于X和Y的边缘概率密度
4.常用的二维分布
（1）二维均匀分布：如果二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)有概率密度
f ( x , y ) = { 1 A , ( x , y ) ∈ G 0 ， e l s e f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{A}& ,(x,y)\in G\\ 0& ，else \end{matrix}\right. f(x,y)={A10,(x,y)∈G，else
其中
G
G
G为平面有界区域，
A
A
A为其面积，则称
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y)在
G
G
G上服从二维均匀分布。
（2）二维正态分布：如果二维随机变量
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y)有概率密度为
f ( x , y ) = 1 2 π σ 1 σ 2 1 − ρ 2 e x p { − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) [ − ( x − μ ) 2 σ 1 2 − 2 ρ ( x − μ 1 ) ( y − μ 2 ) σ 1 σ 2 + ( y − μ 2 ) 2 σ 2 2 ] } f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^{2}}}exp\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[-\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2_1}-2\rho\frac{(x-\mu_{1})(y-\mu_{2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma^2_2}]\} f(x,y)=2πσ1σ21−ρ2 1exp{−2(1−ρ2)1[−σ12(x−μ)2−2ρσ1σ2(x−μ1)(y−μ2)+σ22(y−μ2)2]}
其中 μ 1 , μ 2 , σ 1 , σ 2 , ρ \mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\rho μ1,μ2,σ1,σ2,ρ均为常数，且 σ 1 \sigma_1 σ1>0， σ 2 \sigma_2 σ2>0，-1< ρ \rho ρ<1，则称(X,Y)服从参数 μ 1 , μ 2 , σ 1 , σ 2 , ρ \mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\rho μ1,μ2,σ1,σ2,ρ的二维正态分布，记作
( X , Y ) (X,Y) (X,Y)~ N ( μ 1 , σ 1 2 ; μ 2 , σ 2 2 ; ρ ) N(\mu_1,\sigma_1^2;\mu_2,\sigma_2^2;\rho) N(μ1,σ12;μ2,σ22;ρ)
特别，当 μ 1 = μ 2 = 0 , σ 1 = σ 2 = 1 \mu_1=\mu_2=0,\sigma_1=\sigma_2=1 μ1=μ2=0,σ1=σ2=1时，则称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)服从标准正态分布。
性质： ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)~ N ( μ 1 , σ 1 2 ; μ 2 , σ 2 2 ; ρ ) ⇒ X N(\mu_1,\sigma_1^2;\mu_2,\sigma_2^2;\rho)\Rightarrow X N(μ1,σ12;μ2,σ22;ρ)⇒X~ N ( μ 1 , σ 1 2 ) , Y N(\mu_1,\sigma_1^2),Y N(μ1,σ12),Y ~ N ( μ 2 , σ 2 2 ; ) N(\mu_2,\sigma_2^2;) N(μ2,σ22;). 逆命题不成立
条件分布
1.条件分布律
设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)是二维离散型随机变量，若 p ⋅ j p_{·j} p⋅j>0，则称
p X ∣ Y ( i ∣ j ) = P { X = x i ∣ Y = y j } = p i j p ⋅ j p_{X|Y}(i|j)=P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{p_{ij}}{p_{·j}} pX∣Y(i∣j)=P{X=xi∣Y=yj}=p⋅jpij ( i = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ) (i=1,2,···) (i=1,2,⋅⋅⋅)
为在 { Y = y j } \{Y=y_j\} {Y=yj}条件下随机变量X的条件分布律。
若 p i ⋅ p_{i·} pi⋅>0，则称
p Y ∣ X ( j ∣ i ) = P { Y = y j ∣ X = x i } = p i j p i ⋅ p_{Y|X}(j|i)=P\{Y=y_j|X=x_i\}=\frac{p_{ij}}{p_{i·}} pY∣X(j∣i)=P{Y=yj∣X=xi}=pi⋅pij ( i = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ) (i=1,2,···) (i=1,2,⋅⋅⋅)
为在 { X = x i } \{X=x_i\} {X=xi}条件下随机变量Y的条件分布律。
2.条件概率密度
设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)是二维连续型随机变量，若 f Y ( y ) f_Y(y) fY(y)>0,则称
f X ∣ Y = f ( x , y ) f Y ( y ) f_{X|Y}=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)} fX∣Y=fY(y)f(x,y) ( − ∞ < x < + ∞ ) (-\infty<x<+\infty) (−∞<x<+∞)
为在
{
Y
=
y
}
\{Y=y\}
{Y=y}条件下X的条件概率密度。
若
f
X
(
x
)
f_X(x)
fX(x)>0，则称
f Y ∣ X = f ( x , y ) f X ( x ) f_{Y|X}=\frac{f(x,y)}{f_X(x)} fY∣X=fX(x)f(x,y) ( − ∞ < x < + ∞ ) (-\infty<x<+\infty) (−∞<x<+∞)
为在 { X = x } \{X=x\} {X=x}条件下Y的条件概率密度。
随机变量的独立性
1.随机变量的独立性
若二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)对任意实数均有
P { X ≤ x , Y ≤ y } = P { X ≤ x } P { Y ≤ y } P\{X≤x,Y≤y\}=P\{X≤x\}P\{Y≤y\} P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y} 即 F ( x , y ) = F X ( x ) ⋅ F Y ( y ) F(x,y)=F_X(x)·F_Y(y) F(x,y)=FX(x)⋅FY(y),
则X与Y相互独立
2.离散型随机变量相互独立的充要条件
p i j = p i ⋅ ⋅ p ⋅ j p_{ij}=p_{i·}·p_{·j} pij=pi⋅⋅p⋅j， i , j = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ i,j=1,2,··· i,j=1,2,⋅⋅⋅
3.连续型随机变量相互独立的充要条件
f ( x , y ) = f X ( x ) ⋅ f Y ( y ) f(x,y)=f_X(x)·f_Y(y) f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)， x , y x,y x,y为任意实数
多维随机变量函数的分布
1.二维随机变量函数的分布
（1）已知离散型随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布律 P { X = x i , Y = y i } = p i j P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij} P{X=xi,Y=yi}=pij，则 Z = g ( x , y ) Z=g(x,y) Z=g(x,y)的分布为
P { Z = z k } = P { g ( X , Y ) = z k } = ∑ g ( x i , y j ) = k p i j P\{Z=z_k\}=P\{g(X,Y)=z_k\}=\sum_{g(x_i,y_j)=k}p_{ij} P{Z=zk}=P{g(X,Y)=zk}=∑g(xi,yj)=kpij
（2）设连续型随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的概率密度为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)，则 Z = g ( X , Y ) Z=g(X,Y) Z=g(X,Y)的分布函数为
F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = ∬ g ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d x d y F_Z(z)=P\{Z≤z\}=\iint_{g(x,y)≤z}f(x,y)dxdy FZ(z)=P{Z≤z}=∬g(x,y)≤zf(x,y)dxdy
概率密度 f Z ( z ) = F Z ‘ ( z ) f_Z(z)=F_Z`(z) fZ(z)=FZ‘(z).
–
特殊类型：
–
①
Z
=
X
+
Y
Z=X+Y
Z=X+Y密度函数为
f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , z − x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ f ( z − y , y ) d y f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy fZ(z)=∫−∞+∞f(x,z−x)dx=∫−∞+∞f(z−y,y)dy
特别，当 X X X与 Y Y Y相互独立时
f Z ( z ) = f X ∗ f Y = ∫ − ∞ + ∞ f X ( x ) f Y ( z − x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ f X ( z − y ) f Y ( y ) d y f_Z(z)=f_X*f_Y=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy fZ(z)=fX∗fY=∫−∞+∞fX(x)fY(z−x)dx=∫−∞+∞fX(z−y)fY(y)dy
–
②设
X
X
X ~
N
(
μ
1
,
σ
1
2
)
N(\mu_1,\sigma_1^2)
N(μ1,σ12)，
Y
Y
Y ~
N
(
μ
2
,
σ
2
2
)
N(\mu_2,\sigma_2^2)
N(μ2,σ22)，且
X
X
X，
Y
Y
Y相互独立，则
a X + b Y aX+bY aX+bY ~ N ( a μ 1 + b μ 2 , a 2 σ 1 2 + b 2 σ 2 2 ) N(a\mu_1+b\mu_2,a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2) N(aμ1+bμ2,a2σ12+b2σ22)
③设
X
X
X，
Y
Y
Y相互独立，分布函数分别为
F
X
(
x
)
和
F
Y
(
y
)
F_X(x)和F_Y(y)
FX(x)和FY(y)，
M
=
m
a
x
(
X
,
Y
)
M=max(X,Y)
M=max(X,Y)，
N
=
m
i
n
(
X
,
Y
)
N=min(X,Y)
N=min(X,Y)，
F
M
(
z
)
=
F
X
(
z
)
F
Y
(
z
)
F_M(z)=F_X(z)F_Y(z)
FM(z)=FX(z)FY(z)，
F
N
(
z
)
=
1
−
[
1
−
F
X
(
z
)
]
[
1
−
F
Y
(
z
)
]
F_N(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]
FN(z)=1−[1−FX(z)][1−FY(z)].
④ Z = X Y Z=\frac{X}{Y} Z=YX的密度函数为
f
Z
(
z
)
=
∫
−
∞
+
∞
∣
y
∣
f
(
y
z
,
y
)
d
y
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|y|f(yz,y)dy
fZ(z)=∫−∞+∞∣y∣f(yz,y)dy，
X
X
X，
Y
Y
Y相互独立时，
f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ ∣ y ∣ f X ( y z ) f Y ( y ) d y f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|y|f_X(yz)f_Y(y)dy fZ(z)=∫−∞+∞∣y∣fX(yz)fY(y)dy，
⑤ Z = Y X Z=\frac{Y}{X} Z=XY的密度函数为
f
Z
(
z
)
=
∫
−
∞
+
∞
∣
x
∣
f
(
x
,
x
z
)
d
x
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|x|f(x,xz)dx
fZ(z)=∫−∞+∞∣x∣f(x,xz)dx，
X
X
X，
Y
Y
Y相互独立时，
f
Z
(
z
)
=
∫
−
∞
+
∞
∣
x
∣
f
X
(
x
)
f
Y
(
x
z
)
d
x
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|x|f_X(x)f_Y(xz)dx
fZ(z)=∫−∞+∞∣x∣fX(x)fY(xz)dx，
⑥ Z = X Y Z=XY Z=XY的密度函数为
f
Z
(
z
)
=
1
∣
x
∣
f
(
x
,
z
x
)
d
x
f_Z(z)=\frac{1}{|x|}f(x,\frac{z}{x})dx
fZ(z)=∣x∣1f(x,xz)dx，
X
X
X，
Y
Y
Y相互独立时，
f Z ( z ) = 1 ∣ x ∣ f X ( x ) f Y ( z x ) d x f_Z(z)=\frac{1}{|x|}f_X(x)f_Y(\frac{z}{x})dx fZ(z)=∣x∣1fX(x)fY(xz)dx.
2.多维随机变量函数的分布
对于相互独立的多维随机变量所构成的简单函数，可利用二维随机变量的结果加以推广。
常用结论及公式如下
（1）设
X
1
,
X
2
,
⋅
⋅
⋅
,
X
n
X_1,X_2,···,X_n
X1,X2,⋅⋅⋅,Xn相互独立，且
X
i
X_i
Xi ~
N
(
μ
i
,
σ
i
2
)
N(\mu_i,\sigma_i^2)
N(μi,σi2)，
k
i
k_i
ki为任意常数，
(
i
=
1
,
2
,
⋅
⋅
⋅
,
n
)
(i=1,2,···,n)
(i=1,2,⋅⋅⋅,n)，则
Z = ∑ i = 1 n k i X i Z=\sum^n_{i=1}k_iX_i Z=∑i=1nkiXi ~ N ( ∑ i = 1 n k i μ i , ∑ i = 1 n k i 2 σ i 2 ) N(\sum^n_{i=1}k_i\mu_i,\sum_{i=1}^nk_i^2\sigma_i^2) N(∑i=1nkiμi,∑i=1nki2σi2).
（2）设 X 1 , X 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , X n X_1,X_2,···,X_n X1,X2,⋅⋅⋅,Xn相互独立，且 X i X_i Xi的分布函数为 F X i ( x i ) ( i = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , n ) F_{X_i}(x_i)(i=1,2,···,n) FXi(xi)(i=1,2,⋅⋅⋅,n)，则 Z = m a x { X 1 , X 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , X n } Z=max\{X_1,X_2,···,X_n\} Z=max{X1,X2,⋅⋅⋅,Xn}的分布函数为
F m a x ( z ) = F X 1 ( z ) F X 2 ( z ) ⋅ ⋅ ⋅ F X n ( z ) F_{max}(z)=F_{X_1}(z)F_{X_2}(z)···F_{X_n}(z) Fmax(z)=FX1(z)FX2(z)⋅⋅⋅FXn(z)
Z = m i n { X 1 , X 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , X n } Z=min\{X_1,X_2,···,X_n\} Z=min{X1,X2,⋅⋅⋅,Xn}的分布函数为
F m i n ( z ) = 1 − [ 1 − F X 1 ( z ) ] [ 1 − F X 2 ( z ) ] ⋅ ⋅ ⋅ [ 1 − F X n ( z ) ] F_{min}(z)=1-[1-F_{X_1}(z)][1-F_{X_2}(z)]···[1-F_{X_n}(z)] Fmin(z)=1−[1−FX1(z)][1−FX2(z)]⋅⋅⋅[1−FXn(z)]