量子力学基础-2

2024-03-19 21:56:28

3. 算符

3.1 线性算符

$A(|a\rang+|b\rang) = A|a\rang+A|b\rang$

$A(z|a\rang = zA|a\rang$

3.2 特殊算符

恒等算符$I$ $I|a\rang = |a\rang$

零算符0 $0|a\rang = 0$

3.3 本征值和本征矢

$A|v\rang = \lambda|v\rang$ $|v\rang 是 A 的本征矢量，\lambda 是相应的本征值.$

如何求得本征值和本征矢量：

(1) $A|v\rang =\lambda|v\rang = \lambda I |v\rang (I是等同算符)$

(2) $(A-\lambda I）|v\rang = 0$

(3) $|A-\lambda I| = 0$，解得 $\lambda$，带入$(A-\lambda I）|v\rang = 0$，可求得 $|v\rang$.

3.4 对易关系

$[A, B] = AB-BA$，若$[A, B] = 0, 即 AB=BA，则称A与B是对易的.$

$\{A, B\} = AB+BA$，若${A, B} = 0, 即 AB=-BA，则称A与B是反对易的.$

3.5 厄米算符

$A = A^\dagger$，则$A$ 是厄米算符. （类似对称矩阵，$A=A^T$）

$(AB)^\dagger = B^{\dagger}A^\dagger$

推导：$(AB)^\dagger = ((AB)^*)^T) = ((AB)^T)^*) = (B^{T}A^T)^* = ((B^T)^*)((A^T)^*) = B^{\dagger}A^\dagger$

厄米算符的本征值是实数.

半正定算子(positive operator) 是厄米算子的一个极重要的子类.

$半正定算子A \Longleftrightarrow (|v\rang, A|v\rang) = \lang v| A |v \rang \geq 0$

$正定算子A \Longleftrightarrow (|v\rang, A|v\rang) = \lang v| A |v \rang > 0$

正定的(positive definite). 任意半正定算子自动地是厄米的，于是由谱分解定理，它具有对角表示$\sum_i \lambda_i |i\rang \lang i|$， $\lambda_i$ 是非负特征值.

3.6 外积算符

$态矢 |u\rang自身的外积是 |u\rang \lang u|$.

3.7 投影算符

设空间 $V$ 是$n$维， $|i\rang (i=1,2,\cdots, n)$ 是空间$V$ 的一组正交规一基，定义投影算符
$P=\sum_{1}^{m}|i\rang\lang i|~~~~(i=1,2,\cdots,m),~~m\leq n$
各个 $|i\rang~(i=1,2,\cdots,m)$ 构成 $V$ 的子空间 $M$. 投影算符$P$作用于空间V中的任一态矢$|w\rang$相当于求取$|w\rang$ 在子空间 $M$ 中的分量. 显然，
(1). 当 $m =n$时，子空间$M$亦即原来的空间 $V$. $V$ 中任何态矢 $|w\rang$ 在 $V$中的投影显然就是 $|w\rang$ 本身，故
$\sum_1^n |i\rang\lang i|w\rang = |w\rang$
$\sum_1^n |i\rang\lang i | = I$, $I$ 是$n$ 阶等同算符.

(2). 当 $m<n$ 时，$|w \rang$ 是空间 $V$ 中的任意态矢，$P|w \rang = \sum_1^m|i\rang \lang i|w\rang = |v\rang$ 是在 $M$中， $|v\rang$ 在$M$ 中的投影是 $|v\rang$ 自身, 故
$\left\{\begin{matrix} P(P|w\rang)= P|w\rang = |v\rang \\ P=P^2=P^3= \cdots \end{matrix}\right.$

3.8 对角化及谱分解

$A=\sum \lambda_i |i\rang \lang i | (i = 1,2, \cdots, n) = O = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}$

其中，$\lambda_i$ 是本征值，$|i\rang$ 是对应的本征向量.

算符 $A$ 能够对角化的充要条件是 $A$ 是一个正规算符(normal operator)，即 $AA^\dagger = A^{\dagger}A$.
$A 能够对角化 \Longleftrightarrow AA^\dagger = A^{\dagger}A$

3.9 幺正算符

幺正算符，也叫酉算符. $U^\dagger = U^{-1}$，即 $U^{\dagger}U = I$. (类似正交矩阵 $AA^T = I$，$A^T = A^{-1}$)

幺正算符的性质：

(1) 空间中任意两个矢量经幺正变换后内积保持不变.

推导如下：

变换前的两个矢量，$|s\rang$ 和$|t\rang$，其内积为$\lang s|t \rang$.

以幺正算符作用于$|s\rang$ 和$|t\rang$ 后，$U|s\rang$ 和$U|t\rang$，其内积为 $\Big(U|s\rang, U|t\rang \Big) = \lang s|U^{\dagger} U|t\rang = \lang s|I|t\rang = \lang s|(I|t\rang) = \lang s|t\rang$.

(2) 正交规一基经过幺正变换后变为另一组正交归一基.

设$|u_i\rang(i=1,2,\cdots,n)$ 是一组正交规一基，$U$ 是幺正变换，$U|u_i\rang = |w_i\rang$，可得

\[\lang w_i|w_j \rang = \lang u_i| U^\dagger U | u_j \rang = \lang u_i | u_j \rang = \delta_{ij} \]

反之，若 $|u_i\rang$ 和 $|w_i\rang$ 是两组归一正交基，则它们之间的变换是幺正变换. 即，$A|u_i\rang = |w_i\rang$, A是幺正变换.

推导如下：

假设 $A|u_i\rang = |w_i \rang$，证明 $A$ 是幺正算符.

$A^\dagger = \sum_i |u_i\rang \lang w_i|$

$A^{\dagger}A = \sum_i |u_i\rang \lang w_i| \sum_j |w_j \rang \lang u_j| = \sum_i \sum_j |u_i\rang \lang w_i|w_j \rang \lang u_j| = \sum_i |u_i\rang \lang u_i| = I$.

上式中 $I $ 是恒等算符，故 $A$ 是幺正算符.

(3) 幺正算符的本征值都以1为模数，亦即可表示为$e^{i\theta}$， $\theta$ 是个实数.

3.10 泡利算符

$\sigma_0 = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\sigma_ 1= \sigma_x = X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\sigma_2= \sigma_y = Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$ $\sigma_3= \sigma_z = Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

泡利算符既是厄米算符，又是幺正算符，即$\sigma = \sigma^\dagger = \sigma^{-1}$.

参考文献

马瑞霖. 量子密码通信[M]. 北京：科学出版社，2006.
[英]尼尔森，庄著. 量子计算和量子信息(一)--量子计算部分[M]. 赵千川译. 北京：清华大学出版社，2009.

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