3. 算符
3.1 线性算符
\(A(|a\rang+|b\rang) = A|a\rang+A|b\rang\)
\(A(z|a\rang = zA|a\rang\)
3.2 特殊算符
恒等算符\(I\) \(I|a\rang = |a\rang\)
零算符0 \(0|a\rang = 0\)
3.3 本征值和本征矢
\(A|v\rang = \lambda|v\rang\) \(|v\rang 是 A 的本征矢量，\lambda 是相应的本征值.\)
如何求得本征值和本征矢量：
(1) \(A|v\rang =\lambda|v\rang = \lambda I |v\rang (I是等同算符)\)
(2) \((A-\lambda I）|v\rang = 0\)
(3) \(|A-\lambda I| = 0\)，解得 \(\lambda\)， 带入\((A-\lambda I）|v\rang = 0\)，可求得 \(|v\rang\).
3.4 对易关系
\([A, B] = AB-BA\)， 若\([A, B] = 0, 即 AB=BA，则称A与B是对易的.\)
\(\{A, B\} = AB+BA\)， 若\({A, B} = 0, 即 AB=-BA，则称A与B是反对易的.\)
3.5 厄米算符
\(A = A^\dagger\)， 则\(A\) 是厄米算符. （类似对称矩阵，\(A=A^T\)）
\((AB)^{\dagger} = B^{\dagger} A^\dagger\)
推导：\((AB)^\dagger = ((AB)^*)^T) = ((AB)^T)^*) = (B^{T}A^T)^* = ((B^T)^*)((A^T)^*) = B^{\dagger}A^\dagger\)
厄米算符的本征值是实数.
3.6 外积算符
\(态矢 |u\rang自身的外积是 |u\rang \lang u|\).
\(\Big( |u\rang \lang u| \Big) |w\rang = |u\rang \Big(\lang u|w\rang \Big) =\lang u|w\rang |u\rang\), 得到的矢量与原来的态矢方向相同，但是系数是\(|u\rang 与|w\rang 的内积\)， 所以算符\(|u\rang \lang u | 作用于态矢量|w\rang 可以看作 |w\rang 在 |u\rang 上的投影(分量).\)
3.7 投影算符
设空间 \(V\) 是\(n\)维， \(|i\rang (i=1,2,\cdots, n)\) 是空间\(V\) 的一组正交规一基，定义投影算符
\(P=\sum_{1}^{m}|i\rang\lang i|~~~~(i=1,2,\cdots,m),~~m\leq n\)
各个 \(|i\rang~(i=1,2,\cdots,m)\) 构成 \(V\) 的子空间 \(M\). 投影算符\(P\)作用于空间V中的任一态矢\(|w\rang\)相当于求取\(|w\rang\) 在子空间 \(M\) 中的分量. 显然，
(1). 当 \(m =n\)时，子空间\(M\)亦即原来的空间 \(V\). \(V\) 中任何态矢 \(|w\rang\) 在 \(V\)中的投影显然就是 \(|w\rang\) 本身，故
\(\sum_1^n |i\rang\lang i|w\rang = |w\rang\)
\(\sum_1^n |i\rang\lang i | = I\), \(I\) 是\(n\) 阶等同算符.
(2). 当 \(m<n\) 时，\(|w \rang\) 是空间 \(V\) 中的任意态矢，\(P|w \rang = \sum_1^m|i\rang \lang i|w\rang = |v\rang\) 是在 \(M\)中， \(|v\rang\) 在\(M\) 中的投影是 \(|v\rang\) 自身, 故
\(\left\{\begin{matrix}
P(P|w\rang)= P|w\rang = |v\rang \\
P=P^2=P^3= \cdots
\end{matrix}\right.\)
3.8 对角化及谱分解
\(A=\sum \lambda_i |i\rang \lang i | (i = 1,2, \cdots, n) = O = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}\)
其中，\(\lambda_i\) 是本征值，\(|i\rang\) 是对应的本征向量.
算符 \(A\) 能够对角化的充要条件是 \(A\) 是一个正规算符(normal operator)， 即 \(AA^\dagger = A^{\dagger}A\).
\(A 能够对角化 \Longleftrightarrow AA^\dagger = A^{\dagger}A\)
3.9 幺正算符
幺正算符，也叫酉算符. \(U^\dagger = U^{-1}\)，即 \(U^{\dagger}U = I\). (类似正交矩阵 \(AA^T = I\)，\(A^T = A^{-1}\))
幺正算符的性质：
(1) 空间中任意两个矢量经幺正变换后内积保持不变.
推导如下：
变换前的两个矢量，\(|s\rang\) 和\(|t\rang\)，其内积为\(\lang s|t \rang\).
以幺正算符作用于\(|s\rang\) 和\(|t\rang\) 后，\(U|s\rang\) 和\(U|t\rang\)，其内积为 \(\Big(U|s\rang, U|t\rang \Big) = \lang s|U^{\dagger} U|t\rang = \lang s|I|t\rang = \lang s|(I|t\rang) = \lang s|t\rang\).
(2) 正交规一基经过幺正变换后变为另一组正交归一基.
设\(|u_i\rang(i=1,2,\cdots,n)\) 是一组正交规一基，\(U\) 是幺正变换，\(U|u_i\rang = |w_i\rang\)， 可得
\(\lang w_i|w_j \rang = \lang u_i| U^\dagger U | u_j \rang = \lang u_i | u_j \rang = \delta_{ij}\)
反之，若 \(|u_i\rang\) 和 \(|w_i\rang\) 是两组归一正交基，则它们之间的变换是幺正变换. 即，\(A|u_i\rang = |w_i\rang\), A是幺正变换.
推导如下：
假设 \(A|u_i\rang = |w_i \rang\)， 证明 \(A\) 是幺正算符.
$A|u_i\rang = |w_i \rang \Longrightarrow A|u_i\rang \lang u_i| = |w_i \rang \lang u_i| \Longrightarrow \sum_i A|u_i\rang \lang u_i| = \sum_i |w_i \rang \lang u_i| $
\(\Longrightarrow A\sum_i |u_i\rang \lang u_i| = \sum_i |w_i \rang \lang u_i| \Longrightarrow AI = \sum_i |w_i \rang \lang u_i| \Longrightarrow A = \sum_i |w_i \rang \lang u_i|\)
\(A^\dagger = \sum_i |u_i\rang \lang w_i|\)
\(A^{\dagger}A = \sum_i |u_i\rang \lang w_i| \sum_j |w_j \rang \lang u_j| = \sum_i \sum_j |u_i\rang \lang w_i|w_j \rang \lang u_j| = \sum_i |u_i\rang \lang u_i| = I\).
上式中 $I $ 是恒等算符，故 \(A\) 是幺正算符.
(3) 幺正算符的本征值都以1为模数，亦即可表示为\(e^{i\theta}\)， \(\theta\) 是个实数.
3.10 泡利算符
\(\sigma_0 = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) \(\sigma_ 1= \sigma_x = X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)
\(\sigma_2= \sigma_y = Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\) \(\sigma_3= \sigma_z = Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)
泡利算符既是厄米算符，又是幺正算符，即\(\sigma = \sigma^\dagger = \sigma^{-1}\).
参考文献
- 马瑞霖. 量子密码通信[M]. 北京：科学出版社，2006.
- [英]尼尔森，庄著. 量子计算和量子信息(一)--量子计算部分[M]. 赵千川译. 北京：清华大学出版社，2009.