8. Support Vector Machines(SVMs)
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8. Support Vector Machines(SVMs)
8.1 Optimization Objection
8.2 Large margin intuition
8.3 Mathematics Behind Large Margin Classification
8.4 Kernels
8.5 Using a SVM
8.5.1 Multi-class Classification
8.5.2 Logistic Regression vs. SVMs
8.1 Optimization Objection
支持向量机(Support Vector Machine: SVM)是一种非常有用的监督式机器学习算法。首先回顾一下Logistic回归，根据log()函数以及Sigmoid函数的性质，有：
同时，Logistic回归的代价函数（未正则化）如下：
为得到SVM的代价函数，我们作如下修改：
因此，对比Logistic的优化目标
SVM的优化目标如下：
注1：事实上，上述公式中的Cost0与Cost1函数是一种称为hinge损失的替代损失(surrogate loss)函数，其他常见的替代损失函数有指数损失和对率损失，具体参见《机器学习》P129 周志华）
注2：注意参数C和λ的对应关系: C与(1 / λ)成正相关。
8.2 Large margin intuition
根据8.1中的代价函数，为使代价函数最小，有如下结论：
现假设C很大（如C=100000），为使代价函数最小，我们希望
所以代价函数就变为：
所以问题就变成：
该问题最后的优化结果是找到具有"最大间隔"(maximum margin)的划分超平面，所以支持向量机又称大间距分类器(large margin classifier)。那么什么是间隔? 为什么这样优化就可以找到最大间隔？首先，我们通过图8-1所示的二维的0/1线性分类情况来直观感受。
图8-1 SVM Decision Boundary: Linearly separable case
直观上，应该去找位于两类训练样本"正中间"的划分超平面，即图8-1的黑色直线(二维)，因为该划分超平面对训练样本局部扰动的"容忍"性最好。例如，图中的粉色和绿色直线，一旦输入数据稍有变化，将会得到错误的预测。换言之，这个划分超平面所产生的分类结果是最鲁棒的，对要预测数据集的泛化能力最强。而两条蓝色直线之间的距离就称为间隔(margin)。下一节将从数学角度来解释间隔与最大间隔的优化原理。
8.3 Mathematics Behind Large Margin Classification
首先介绍一些数学知识。
- 2-范数(2-norm)： 也可称长度(length)，是二维或三维空间向量长度的推广，向量u记为||u||。例如，对于向量u = [ u1, u2, u3, u4]，||u|| = sqrt(u1^2 + u2^2 + u3^2 + u4^2)
- 向量内积(Vector Inner Product): 设向量a = [a1, a2, … , an]，向量b = [b1, b2, … , bn]，a和b的的内积定义为：a · b = a1b1 + a2b2 + … + anbn 。向量内积是几何向量数量积(点积)的推广，可以理解为向量a在向量b上的投影长度(范数)和向量b的长度的乘积。
所以有：
其中是
在
向量上的投影长度。
所以，8.2节得到的优化问题可以转为如下形式:
分界线为，所以可知
和分界线正交(垂直)，并且当
时，分界线过原点(欧式空间)。为使目标最优（取最小值）且满足约束，
应该尽可能大，这样就要求间距尽可能的大。直观的如图8-2所示，图左为间距较小的情况，此时的
较小，为满足约束，导致目标函数变大，图右为最大间距的情况，此时的
是最大的，所以目标可以尽可能的小。
图8-2 两种不同间距的情况
8.4 Kernels
上述的讨论都是基于线性可分的样本，即存在一个划分超平面可以将训练样本正确分类，然而现实世界存在大量复杂的，非线性分类问题(如4.4.2节的异或/同或问题)。Logistic回归处理非线性问题可以通过引入多项式特征量作为新的特征量；神经网络通过引入隐藏层，逐层进化解决非线性分类问题；而SVM是通过引入核函数(kernel function)来解决非线性问题。具体做法如下：
- 对于给定输出x, 规定一定数量的landmarks，记为
；
-
将x,
作为核函数的输入，得到新的特征量
，若将核函数记为similarity()，则有
，其中
与
为一一对应；
-
将新的特征量替代原有特征量，得到假设函数如下：
现在有两个问题，
- 如何选择landmarks？
- 用什么样的核函数 ?
对于第一个问题，可以按照如下方式，即将训练集的输入作为landmarks
所以特征量的个数与训练集的个数相等，即n = m，所以带有核的SVM变为如下形式：
对于第二个问题，常用的核函数有线性核，高斯核，多项式核，Sigmoid核，拉普拉斯核等，现以常用的高斯核(Gaussian)为例。
高斯核具有如下性质：
也就是说，如果x和landmark接近，那么核函数的值也就是新的特征量将会接近1，而如果x和landmark距离很远，那么核函数的值将会接近0.
是高斯核的参数，它的大小会影响核函数值的变化快慢，具体的，图8-3是一个二维情况下的特殊例子，但是所含有的性质是可推广的。即
越大，核函数变化(下降)越缓慢，反之，
越小，核函数变化越快。
图8-3 参数对高斯核的影响举例
- 如何选择参数？
下面对SVM的参数对偏差和方差的影响做简要分析：
- C: 由于C和(1 / λ)正相关，结合6.4.2节对λ的分析有：
8.5 Using a SVM
上文简单的介绍了SVM的优化原理以及核函数的使用方式。在实际应用SVM中，我们不需要自己去实现SVM的训练算法来得到参数，通常是使用现有的软件包(如liblinear, libsvm)。
但是下面的工作是我们需要做的：
- 选择参数C的值
-
选择并实现核函数
- 如果核函数带参数，需要选择核函数的参数，例如高斯核需要选择
- 如果无核(选择线性核)，即给出线性分类器，适用于n大，m小的情况
- 选择非线性核（如高斯核），适用于n小，m大的情况
下面是需要注意的地方：
- 在使用核函数之前要对特征量进行规范化
- 并不是所有的函数是有效的核函数，它们必须满足Mercer定理。
- 如果想要通过训练得到参数C或者核函数的参数，应该是在训练集和交叉检验集上进行，，参见6.3节。
8.5.1 Multi-class Classification
8.5.2 Logistic Regression vs. SVMs
参考：《机器学习》 周志华