$\DeclareMathOperator{\rev}{rev}$

传送门：基因工程

这道题拖了好久，一直没有清晰的思路。

当然，$k\le\frac{n}{2}$ 时，比较简单。下面我着重讲一下当 $k>\frac{n}{2}$ ，即前 $k$ 个字符与后 $k$ 个字符有重叠时，如何思考这个问题。

为了便于分析，我们把题目要求形式化成如下的数学表示

假设修改后的字符串为 $S$ ，字符串长度为 $n$ ，则 $S$ 满足

\[S_i = S_{i+n-k} \qquad   1 \le i \le k \]

即“$S$是以$n-k$为周期的字符串”。

这样讲对吗？我们回忆一下数学上周期函数的概念，不难发现这个说法不确切，一个有周期性的字符串是无限长的。

为了消除这种数学上的不严格，我们换一种说法

满足

\[S_i = S_{i+n-k} \qquad  1 \le i \le k\]

且长为$n$的字符串$S$，必定是某个以 $n-k$ 为周期的无限长字符串 $T$ 的子串。

至此我们找到了一个将问题大大简化了的必要条件，显然这个命题反过来也成立。因而有

对于任意长为 $n$ 的字符串 $S$

$S_i = S_{n-k+i}  \qquad 1 \le i \le k, \quad  0 \le k \le n,$

$\iff$ $S$ 是某个以 $n-k$ 为周期的无限长字符串 $T$ 的子串

UPDATE (2019/5/16)

另一道跟周期串有关的字符串构造题，CF1158B The minimal unique substring。

$\mathsf{UPD (2018/12/27)}$

多年以后又遇到一个类似的问题，CF1081H Palindromic Magic，想起这篇旧文。

作者（fjzzq2002）在题解中也定义了周期串，把我所谓「$S$ 是某个以 $t$ 为周期的无限长字符串 $T$ 的子串」径称为「$S$ 以 $t$ 为周期（$S$ has a period of length $t$）」。

现把题解中的一些术语和定义摘录在此。

问题转化为：求将一个字符串 $S$ 转化为某个以 $n-k$ 为周期的无限长字符串 $T$ 的子串，所需的最少更改次数。

这个问题思考起来可比原问题清楚多了，而且至此我们已经把开头说到的两种情况统一起来了。

可以通过频数统计求解：

分别统计

\[1, 1+n-k, 1+2(n-k), \dots \]

\[2, 2+n-k, \dots\]

\[\cdots\]

\[n-k, n-k+n-k, \dots\]

上A, G， C， T出现的频数，将其改成频数最大的那个字符，这样所需的总改动次数就是答案。

P.S. 这篇随笔是我看了李舜阳的 hihoCoder #1052 基因工程 后写的。看他画的图还是不能完全把握这个问题，我觉得从数学上将问题形式化，寻找能够简化问题的必要条件，对我们分析问题极有帮助，也是一种科学的思维方式。我们即使不画图也能透彻地分析这个问题，相反只看李舜阳的图而不借助形式化的推导仍是糊里糊涂。

 #include<bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 const int MAX_N=1e3+;

 char s[MAX_N];

 const char* item="ACGT";

 int main(){

     //freopen("in", "r", stdin);

     int T, K, N, rep, ans, maxi, cnt[]; //A, C, G, T

     scanf("%d", &T);

     while(T--){

         scanf("%s%d", s+, &K);

         N=strlen(s+);

         rep=N-K;

         ans=;

         for(int i=; i<=rep; i++){

             memset(cnt, , sizeof(cnt));

             for(int j=i; j<=N; j+=rep){

                 for(int k=; k<; k++){

                     if(s[j]==item[k]){

                         cnt[k]++;

                         break;

                     }

                 }

             }

             maxi=;

             for(int j=; j<; j++){

                 maxi=max(maxi, cnt[j]);

                 ans+=cnt[j];

             }

             ans-=maxi;

         }

         printf("%d\n", ans);

     }

     return ;

 }