最长不下降子序列 nlogn && 输出序列

最长不下降子序列实现:

       利用序列的单调性

  对于任意一个单调序列,如 1 2 3 4 5(是单增的),若这时向序列尾部增添一个数 x,我们只会在意 x 和 5 的大小,若 x>5,增添成功,反之则失败。由于普通代码是从头开始比较,而 x 和 1,2,3,4 的大小比较是没有用处的,这种操作只会造成时间的浪费,所以效率极低。对于单调序列,只需要记录每个序列的最后一个数,每增添一个数 x,直接比较 x 和末尾数的大小。只有最后一个数才是有用的,它表示该序列的最大限度值。

  实现方法就是新开一个数组 d,用它来记录每个序列的末尾元素,以求最长不下降为例,d[k] 表示长度为k的不下降子序列的最小末尾元素。

  我们用 len 表示当前凑出的最长序列长度,也就是当前 d 中的最后那个位置。

  这样就很 easy 了,每读入一个数 x,如果 x 大于等于 d[len],直接让 d[len+1]=x,然后 len++,相当于把 x 接到了最长的序列后面;

  如果 x 小于 d[len],说明 x 不能接到最长的序列后面,那就找 d[1...len−1] 中末尾数小于等于 x 的的序列,然后把 x 接到它后面。举个例子,若当前 x==7,len==8:

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

7

7

10

12

29

  d[1]⋯d[5] 均小于等于 x,若在 d[1] 后接 x,则 d[2] 应换成 x,但 d[2]==3,比 x 小,能接更多的数,用 7 去换 3 显然是不划算的,所以 x 不能接 d[1] 后。同理,d[2]⋯d[4] 均不能接x。由于 d[5]≤x 且 x<d[6],7 能比 10 接更多的数,所以选择在 d[5] 后接 x,用 x 替换 10。

  根据这个操作过程,易知数组 d 一定是单调的序列,所以查找的时候可以用二分!二分效率是 logn 的,所以整个算法的效率就是 nlogn 的啦~

输出序列实现:

       想了好久,认为 nlogn 做法也是可以输出序列的,这时候需要增加一个 c 数组 用来记录每个元素在最长序列中的位置,即 c[i] 表示 a[i] 被放到了序列的第几个位置。

  输出时,从 数组 a 的尾部开始,逆序依次找出 c 为 len, len-1, len-2 … 3, 2, 1 的元素,并且找到一个就接着寻找 c[i]-1,直到找到 c[i] 为 1 的数。

  举个例子:

a: 13 7 9 16 38 24 37 18 44 19 21 22 63 15
c: 1 1 2 3 4 4 5 4 6 5 6 7 8 3

  len = 8;

  我们从 15 开始倒着找 c 为 8 的元素,找到 63,接着找 c 为 7 的,找到 22,再找 c 为 6 的,找到 21,再找 c 为 5 …… 以此类推。

  从而,我们得出的序列为 63,22,21,19,18,16,9,7

  逆序输出来,就是 7,9,16,18,19,21,22,63

  为什么这个方法是对的呢?倒序查找保证了两个条件:

    - 如果 c 中有多个相同的数,后面的一定是最新更新的;

    - 在保证一条件的前提下,倒序找,后面的数一定可以接到前面数的后面。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<stack>
 6 #define int long long
 7 #define maxn 1000+10
 8 using namespace std;
 9 inline int read() 
10 {
11     int x=0;
12     bool f=1;
13     char c=getchar();
14     for(; !isdigit(c); c=getchar()) if(c=='-') f=0;
15     for(; isdigit(c); c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
16     if(f) return x;
17     return 0-x;
18 }
19 inline void write(int x)
20 {
21     if(x<0){putchar('-');x=-x;}
22     if(x>9)write(x/10);
23     putchar(x%10+'0');
24 }
25 int n,len;
26 int a[maxn],last[maxn],site[maxn];
27 stack<int> s;
28 signed main()
29 {
30     n=read();
31     for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
32     if(n==0) 
33     {
34         write(0);
35         return 0;
36     }
37     len=1;
38     last[1]=a[1];
39     site[1]=1;
40     for(int i=2;i<=n;i++)
41     {
42         if(a[i]>=last[len]) 
43         {
44             last[++len]=a[i];
45             site[i]=len;
46         }
47         else 
48         {
49             int now=lower_bound(last+1,last+len+1,a[i])-last;
50             last[now]=a[i];
51             site[i]=now;
52         }
53     }
54     printf("max=");
55     write(len);
56     printf("\n");
57     for(int i=n,j=len;i>=1;i--)
58     {
59         if(site[i]==j) 
60         {
61             s.push(a[i]);
62             j--;
63         }
64         if(j==0) break;
65     }
66     while(!s.empty())
67     {
68         int put=s.top();
69         s.pop();
70         write(put);
71         printf(" ");
72     }
73     return 0;
74 }

请各位大佬斧正(反正我不认识斧正是什么意思)

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