https://www.luogu.com.cn/problem/P3902

题目描述

现有数 A1​,A2​,⋯,An​，修改最少的数字为实数，使得数列严格单调递增。

输入格式

第一行，一个整数 n。

第二行，n个整数A1​,A2​,⋯,An​

输出格式

1 个整数，表示最少修改的数字

输入输出样例

输入 #1

3
1 3 2

输出 #1

1

两种做法，树状数组做法和二分做法。

树状数组做法是由于 后一个数的最长不下降子序列一定是由前面的数的最长不下降子序列数增加1而来的，但是对于前面的数，他们的最长不下降子序列是无序的，怎么办呢？

他们的序号无序，但是他们的值有序。我们只需要对于每个值，记录他的最长不下降子序列，用树状数组维护他们的值，每次寻找一个数的最长不下降子序列，只需要找到比他小的数的且最长不下降子序列最大的数，然后将他的最长不下降子序列的值加一即可。

当然，数据较大，树状数组存不下，需要离散化。

#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<vector>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<=n;i++)
#define per(i,a,n) for (int i=n;i>=a;i--) 
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;
unordered_map<ll,ll> tree;
int n;
int _max=-1;
int num[1000005];
inline ll lowbit(ll x)
{
	return x&-x;
} 

ll add(ll x,ll k)
{
	while(x<=_max)
	{
		tree[x]=max(k,tree[x]);
		x+=lowbit(x);
	}
	return 0;
}

ll query(ll x)
{
	ll ans=0;
	while(x)
	{
		ans=max(tree[x],ans);
		x-=lowbit(x);
	}
	return ans;
}
int main()
{
	ios
	cin>>n;
	rep(i,1,n)
	{
		cin>>num[i];
		_max=max(_max,num[i]);
    }
	add(num[1],1);
	int ans=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		 int len=query(num[i]-1);
		 //cout<<len<<endl;
		 add(num[i],len+1);
		 ans=max(len+1,ans);
	}
	cout<<n-ans<<endl;
	return 0;
}

而对于二分做法

则是 新建一个数组 ，对每个新进来的数，如果他比这个数组的最大值要大，那么不改变他的顺序，则直接在新数组后面加进这个数就可以了。但是如果这个数没有比数组的最大值要大，那么我们可以把新数组中第一个比它大的数替换为它，这是因为这个数的最长不下降子序列和第一个比它大的数的最长不下降子序列是相等的，但是它数值更小，显然更优。最后统计一下修改了多少个数，计作x，n-x就是答案。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<vector>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<=n;i++)
#define per(i,a,n) for (int i=n;i>=a;i--) 
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
int n,num[maxn],f[maxn],top=0,cnt=0;
int main()
{
	ios
	cin>>n;
	rep(i,1,n)cin>>num[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(num[i]>f[top])
		{
			f[++top]=num[i];
		}
		else
		{
			*lower_bound(f+1,f+1+top,num[i])=num[i];
			cnt++;
		}
	}
	cout<<cnt<<endl;
	return 0;
}