求一个数列的最长上升序列
动态规划法:O(n^2)
1 //DP 2 int LIS(int a[], int n) 3 { 4 int DP[n]; 5 int Cnt=-1; 6 memset(DP, 0, sizeof(DP)); 7 for(int i=0; i<n; i++ ) 8 { 9 for(int j=0; j<i; j++ ) 10 { 11 if( a[i]>a[j] ) 12 { 13 DP[i] = max(DP[i], DP[j]+1); 14 Cnt = max(DP[i], Cnt);//记录最长序列所含元素的个数 15 } 16 } 17 } 18 return Cnt+1;//因为初始化为0,所以返回结果+1 19 }
贪心+二分法:O(nlogn)
分析:要让一个序列具有最长上升子序列,其实就是保证子序列中的每个元素尽可能小,降低门槛,让后面的元素尽可能多进入该子序列
实现:定义一个最长子序列数组Array,以及当前长度Len,从头到尾维护数组a
a. a[i]>Array[i] (当前元素大于子序列结尾元素),则a[i]进入子序列:Array[++len] = a[i]
b. a[i]<=Array[i],这时对Array进行维护,把Array中比a[i]大的第一个元素替换成a[i](这样可以降低后面元素进入子序列的门槛。
c. 为了降低算法复杂度,因为Array是升序序列,所以用lower_bound查找Array中第一个大于等于a[i]的元素
1 //贪心+二分 2 int LIS(int a[]) 3 { 4 int Cnt=0; 5 int Array[n+1]; 6 Array[0] = a[0]; 7 for(int i=1; i<n; i++ ) 8 { 9 if( a[i]>Array[Cnt] ) 10 Array[++Cnt]=a[i]; 11 else 12 { 13 int Index=lower_bound(Array, Array+Cnt+1, a[i])-Array; 14 Array[Index]=a[i]; 15 } 16 } 17 return Cnt+1; 18 }
求最长下降子序列:
不需要再写LDS---直接将要求的数组倒序,倒序数组的最长上升子序列长度=原数组最长下降子序列长度。