数学知识复习

指数相关

• X^AX^B=X^A+B

• $ \frac{X^A}{XB} $=X^A-B

• (X^A)^B​ = X^AB

• X^N + X^N= 2X^N

• 2^N + 2^N = 2^N+1

对数相关

• log_A B = $ \frac{log_c B}{log_c A} $
• log AB = log A + log B
• log A/B = log A - log B
• log A^B =B(log A)

级数相关

几何级数

• $ \sum_{i=0}^{N}{2i} $ = 2^N+1 -1
• $ \sum_{i=0}^{N}{Ai} $ = A^N+1-1/(A-1)
• 若 0$ \leq$ A $\leq$ 1， $ \sum_{i=0}^{N}{Ai} $ $\leq$ $ \frac{1}{1-A} $

算数级数

• $ \sum_{i=0}^{N}{i} $ = $ \frac{N(N+1)}{2} $
• $ \sum_{i=0}^{N}{i2} $ = $ \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} $

模运算

• 如果A模N和B模N可以得到相同的余数，这样表示：A $ \equiv $ B (mod N)
• 如果有 A $ \equiv $ B (mod N)
  • A + C $\equiv$ B + C (mod N)
  • AD $\equiv$ BD (mod N)

证明方法

归纳法证明

归纳法证明可以分下面几步：

1. 基准证明：确定定理对于小的值的正确性
2. 归纳假设：假设定理对于某个有限数k是成立的
3. 使用归纳假设的定理，证明对k+1也是成立的

由此定理得证

例子：证明斐波那契数列，对于i $\geq$ 1，都有F_i < (5/3)ⁱ 成立

下面按照上面学习的步骤来证明

基准假设：对于i=1，i=2,都有F₁ = 1 < (5/3)¹ 和 都有F₂ = 2 < (5/3)² 成立

归纳假设：假设对于有限数k，都有F_k < (5/3) ^K成立

最后证明：

已知F_k+1 = F_k + F_k-1 ，代入第二步的假设定理

最后化简 F_k+1 < (24/25)(5/3) ^k+1 < (5/3) ^k+1

反证法

未完待续...