1，运营商的挑战：
1，在下图标出的城市间架设一条通信线路；
2，要求：
1，任意两个城市间都能够通信；
2，将架设成本降至最低；
2，问题抽象：
1，如何在图中选择 n - 1 条边使得 n 个顶点间两两可达，并且这 n - 1 条边的权值之和最小？
3，最小（大）生成树：
1，仅使用图中的 n - 1 条边连接图中的 n 个顶点；
2，不能使用产生回路的边；
3，各边上的权值总和达到最小（大）；
4，寻找最小生成树：
5，使用 prim 方法手工寻找最小生成树：
6，最小生成树算法步骤（prim）：
1，选择某一顶点 v0 作为起始顶点，使得 T = {v0}，F = {v1, v2, ..., vn}，E = {}；
2，每次选择一条边，这条边是所有（u, v）中权值最小的边，且 u 属于 T，v 属于 F；
3，修改 T，F，E：
T = T + {v}, F = F - {v}, E = E + {(u, v)}
4，当 F != NULL 时，且（u, v）存在，转 2；否则，结束；
7，最小生成树算法的原材料：
1，如果 T 集合到 F 集合中同一个顶点的连接有多条，那么选取权值最小的连接；
8，最小生成树算法流程图：
9，注意事项：
1，最小生成树仅针对无向图有意义；
2，必须判断图对象是否能够看做无向图；
1，如果可以才能够用 prim 算法；
10，有向图可看做无向图的充分条件：
1，有向的任意两顶点之间若存在连接，则两顶点相互可达、权值相等；
11，图类型（Graph）中的新增成员函数：
1，virtual bool isAdjacent(int i, int j) = 0；
1，判断在当前图中顶点 i 到顶点 j 是否邻接；
2，bool asUndirected()；
1，判断当前的有向图是否能够看做无向图；
12，最小生成树 prim 算法实现：
1，判断邻接的实现：
1，邻接矩阵的实现：
1 /* 判断 i 到 j 顶点边是否连接，值不为空就连接 */
2 bool isAdjacent(int i, int j)
3 {
4 return (0 <= i) && (i < vCount()) && (0 <= j) && (j < vCount()) && (m_edges[i][j] != NULL);
5 }
2，邻接链表的实现：
1 bool isAdjacent(int i, int j)
2 {
3 return (0 <= i) && (i < vCount()) && (0 <= j) && (j < vCount()) && (m_list.get(i)->edge.find(Edge<E>(i, j)) >= 0);
4 }
2，判断是否为无向图的实现：
1 /* 最小生成树只能用于无向图，而我们针对的是有向图，所以要判断有向图什么时候能够被当做无向图 */
2 bool asUndirected()
3 {
4 bool ret = true;
5
6 for(int i=0; i<vCount(); i++)
7 {
8 for(int j=0; j<vCount(); j++)
9 {
10 /* i 到 j 是连接的，并且 j 到 i 也是连接的，然后权值也要相等 */
11 if( isAdjacent(i, j) )
12 {
13 ret = ret && isAdjacent(j, i) && (getEdge(i, j) == getEdge(j, i));
14 }
15 }
16 }
17
18 return ret;
19 }
3，Prim算法实现：
1 /* Prim 法实现最小、大生成树；返回值是数组，因为最小、大生成树的结果就是一系列的边，所以返回边的数组；参数表示理论上的最大权值； */
2 SharedPointer< Array< Edge<E> > > prim(const E& LIMIT, const bool MINIMUM = true) // 返回一个指向存储边的数组指针
3 {
4 LinkQueue< Edge<E> > ret; // 返回边队列，本质是 E 集合
5
6 /* 执行 prim 算法 */
7 if( asUndirected() ) // 无向图
8 {
9 DynamicArray<int> adjVex(vCount());//保存最小权值的边的 F集合中顶点
10 DynamicArray<bool> mark(vCount()); // 保存 T 集合或者 F 集合的标记
11 DynamicArray<E> cost(vCount()); // 保存最小权值的顶点中 E 集合中顶点，寻找最小值要配合 mark 使用
12 SharedPointer< Array<int> > aj = NULL; // 保存某个顶点邻接数组
13 bool end = false; // 用于标记判断 prim 是否要中断执行
14 int v = 0; // 代表习惯性的从 0 顶点生成最小生成树
15
16 /* 执行初始化 */
17 for(int i=0; i<vCount(); i++)
18 {
19 adjVex[i] = -1; // 没有边被访问
20 mark[i] = false; // 顶点都没有被访问
21 cost[i] = LIMIT; // 参数传递理论上的最大权值
22 }
23
24 mark[v] = true; // 初始顶点做标记
25
26 aj = getAdgacent(v); // 获取初始顶点的邻接顶点
27
28 /* 设置初始顶点对应的位置 */
29 for(int j=0; j<aj->length(); j++)
30 {
31 cost[(*aj)[j]] = getEdge(v, (*aj)[j]); // 保存/到对应顶点的响应权值
32 adjVex[(*aj)[j]] = v; // 记录权值所对应的顶点，即能够得到边
33 }
34
35 /* 真正循环找边 */
36 for(int i=0; (i<vCount()) && !end; i++) // 最多循环顶点次；也可能条件不满足，提前结束，所以有 !end
37 {
38 E m = LIMIT;
39 int k = -1; // 记录最小值的顶点
40
41 /* 通过 cost 数组找最小值 */
42 for(int j=0; j<vCount(); j++)
43 {
44 if( !mark[j] && (MINIMUM ? (cost[j] < m) : (cost[j] > m)) ) // !makr[j] 条件是因为选取最小权值时本质上是选取连接的最小边，对应的顶点是在 F集合，此时 mark 中对应的值为假当中的，则在 mark 数组中对应的就为假，所以要这个条件，这里有最小值最大值的设置
45 {
46 m = cost[j];
47 k = j; // 得到记录的最小值的顶点号
48 }
49 }
50 end = (k == -1); // 是否找到合法最小权值，因为有可能在上面 if 条件中没有找到合法的最小权值
51 if( !end )
52 {
53 ret.add(Edge<E>(adjVex[k], k, getEdge(adjVex[k], k))); // 在 adjVex 中找到这条边
54
55 mark[k] = true; // 标记顶点进入了 T 集合
56
57 aj = getAdgacent(k); // 找新的集合连接
58
59 /* 找到之后更新 cost 数组和 adgVex 数组 */
60 for(int j=0; j<aj->length(); j++)
61 {
62 if( !mark[(*aj)[j]] && (MINIMUM ? (getEdge(k, (*aj)[j]) < cost[(*aj)[j]]) : (getEdge(k, (*aj)[j]) > cost[(*aj)[j]])) ); //只对 F 集合操作
63 {
64 cost[(*aj)[j]] = getEdge(k ,(*aj)[j]); //如果 T 到 F 集合新连接权值较小，则记录到 cost 数组中,新加入的点 k 和之前 T 集合里的点到 F 集合里的点的权值要比较呢；如果在 k 到 F 集合中找不到合适的点，则用T中的点代替
65 adjVex[(*aj)[j]] = k; // 将最小权值的起始点设入到邻接边中
66 }
67 }
68 }
69 }
70 }
71 else
72 {
73 THROW_EXCEPTION(InvalidOperationException, "Prim operation is for undirected graph only ...");
74 }
75
76 /* 判断边的数目是否够，即 n-1 条边 */
77 if( ret.length() != (vCount() - 1) )
78 {
79 THROW_EXCEPTION(InvalidOperationException, "No enough edge for prim operation ...");
80 }
81 return toArray(ret); // 返回值是边的数组
82 }
14，prim 算法测试代码：
1 #include <iostream>
2 #include "MatrixGraph.h"
3 #include "ListGraph.h"
4
5 using namespace std;
6 using namespace DTLib;
7
8 template< typename V, typename E >
9 Graph<V, E>& GraphEasy()
10 {
11 static MatrixGraph<4, V, E> g;
12
13 g.setEdge(0, 1, 1);
14 g.setEdge(1, 0, 1);
15 g.setEdge(0, 2, 3);
16 g.setEdge(2, 0, 3);
17 g.setEdge(1, 2, 1);
18 g.setEdge(2, 1, 1);
19 g.setEdge(1, 3, 4);
20 g.setEdge(3, 1, 4);
21 g.setEdge(2, 3, 1);
22 g.setEdge(3, 2, 1);
23
24 return g;
25 }
26
27 template< typename V, typename E >
28 Graph<V, E>& GraphComplex()
29 {
30 static ListGraph<V, E> g(9);
31
32 g.setEdge(0, 1, 10);
33 g.setEdge(1, 0, 10);
34 g.setEdge(0, 5, 11);
35 g.setEdge(5, 0, 11);
36 g.setEdge(1, 2, 18);
37 g.setEdge(2, 1, 18);
38 g.setEdge(1, 8, 12);
39 g.setEdge(8, 1, 12);
40 g.setEdge(1, 6, 16);
41 g.setEdge(6, 1, 16);
42 g.setEdge(2, 3, 22);
43 g.setEdge(3, 2, 22);
44 g.setEdge(2, 8, 8);
45 g.setEdge(8, 2, 8);
46 g.setEdge(3, 8, 21);
47 g.setEdge(8, 3, 21);
48 g.setEdge(3, 6, 24);
49 g.setEdge(6, 3, 24);
50 g.setEdge(3, 7, 16);
51 g.setEdge(7, 3, 16);
52 g.setEdge(3, 4, 20);
53 g.setEdge(4, 3, 20);
54 g.setEdge(4, 5, 26);
55 g.setEdge(5, 4, 26);
56 g.setEdge(4, 7, 7);
57 g.setEdge(7, 4, 7);
58 g.setEdge(5, 6, 17);
59 g.setEdge(6, 5, 17);
60 g.setEdge(6, 7, 19);
61 g.setEdge(7, 6, 19);
62
63 return g;
64 }
65
66 int main()
67 {
68 Graph<int, int>& g = GraphEasy<int, int>();
69 SharedPointer< Array< Edge<int> > > sa = g.prim(65535);
70
71 int w = 0;
72
73 for(int i=0; i<sa->length(); i++)
74 {
75 w += (*sa)[i].data;
76
77 cout << (*sa)[i].b << " " << (*sa)[i].e << " " << (*sa)[i].data << endl;
78 }
79
80 cout << "Weight: " << w << endl;
81
82 return 0;
83 }
15，小结：
1，最小生成树使得顶点间的连通代价最小；
2，Prim 算法通过顶点的动态标记寻找最小生成树；
3，Prim 算法的关键是集合概念的运用（T 集合，F 集合）；
4，利用 Prim 算法的思想也能寻找图的“最大生成树”；