单源最短路——Dijkstra算法

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定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。

问题描述:在无向图 G=(V,E) 中,假设每条边 E[i] 的长度为 w[i],找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。(单源最短路径)

算法描述

算法思想:

设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

算法步骤:

a.初始时,S只包含源点,即S={v},v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则<u,v>正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。

c.以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

执行动画过程如下图
单源最短路——Dijkstra算法

动图太快可以看下面的例子:
单源最短路——Dijkstra算法

单源最短路——Dijkstra算法

重点需要理解这句拗口的”按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度”

实际上,Dijkstra 算法是一个排序过程,就上面的例子来说,是根据A到图中其余点的最短路径长度进行排序,路径越短越先被找到,路径越长越靠后才能被找到,要找A到F的最短路径,我们依次找到了
A –> C 的最短路径 3
A –> C –> B 的最短路径 5
A –> C –> D 的最短路径 6
A –> C –> E 的最短路径 7
A –> C –> D –> F 的最短路径 9

**为什么Dijkstra 算法不适用于带负权的图? **
就上个例子来说,当把一个点选入集合S时,就意味着已经找到了从A到这个点的最短路径,比如第二步,把C点选入集合S,这时已经找到A到C的最短路径了,但是如果图中存在负权边,就不能再这样说了。举个例子,假设有一个点Z,Z只与A和C有连接,从A到Z的权为50,从Z到C的权为-49,现在A到C的最短路径显然是A –> Z –> C

再举个例子:

单源最短路——Dijkstra算法

在这个图中,求从A到C的最短路,如果用Dijkstra根据贪心的思想,选择与A最接近的点C,长度为7,以后不再变化。但是很明显此图最短路为5。归结原因是Dijkstra采用贪心思想,不从整体考虑结果,只从当前情况考虑选择最优。

代码模板

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
int map[110][110],dis[110],visit[110];
/*
关于三个数组:map数组存的为点边的信息,比如map[1][2]=3,表示1号点和2号点的距离为3
dis数组存的为起始点与每个点的最短距离,比如dis[3]=5,表示起始点与3号点最短距离为5
visit数组存的为0或者1,1表示已经走过这个点。
*/
int n,m;
int dijstra()
{
    int i,j,pos=1,min,sum=0;
    memset(visit,0,sizeof(visit));//初始化为.,表示开始都没走过
    for(i=1; i<=n; ++i)
    {
        dis[i]=map[1][i];
    }
    visit[1]=1;
    dis[1]=0;
    for(i=1; i<n; i++)
    {
        min=inf;
        for(j=1; j<=n; ++j)
        {
            if(visit[j]==0&&min>dis[j])
            {
                min=dis[j];
                pos=j;
            }
        }
        visit[pos]=1;//表示这个点已经走过
        for(j=1; j<=n; ++j)
        {
            if(visit[j]==0&&dis[j]>dis[pos]+map[pos][j])//更新dis的值
                dis[j]=dis[pos]+map[pos][j];
        }
    }
    return dis[n];
}
int main()
{
    int i,j;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m),n||m)//n表示n个点,m表示m条边
    {
        for(i=1; i<=n; ++i)
        {
            for(j=1; j<=n; ++j)
            {
                map[i][j]=inf;//开始时将每条边赋为最大值
            }
        }
        int a,b,c;
        for(i=1; i<=m; ++i)
        {
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            if(c<map[a][b])//防止有重边
                map[a][b]=map[b][a]=c;
        }
        int count=dijstra();
        printf("%d\n",count);
    }
    return 0;
}

邻接表实现:

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
struct node
{
    int end;///终点
    int power;///权值
} t;
int n;///n为点数
vector<node>q[500001];///邻接表储存图的信息
int dis[500001];///距离
int vis[500001];///标记数组
void Dijkstra(int start,int end)
{
    int i,len,j,pos;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(i=0; i<=n; i++)
    {
        dis[i]=INF;
    }
    len=q[start].size();
    for(i=0; i<len; i++)
    {
        if(q[start][i].power<dis[q[start][i].end])
        {
            dis[q[start][i].end]=q[start][i].power;
        }
    }///从起点开始的dis数组更新
    vis[start]=1;
    for(j=0; j<n-1; j++)
    {
        int pos,min=INF;
        for(i=1; i<=n; i++)
        {
            if(vis[i]!=0&&dis[i]<min)
            {
                min=dis[i];
                pos=i;///找到未访问节点中权值最小的
            }
        }
        vis[pos]=1;
        len=q[pos].size();///再次更新dis数组
        for(j=0; j<len; j++)
        {
            if(vis[q[pos][j].end]==0&&dis[q[pos][j].end]>q[pos][j].power+dis[pos])
            {
                dis[q[pos][j].end] = q[pos][j].power+dis[pos];
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dis[end]);
}
int main()
{
    int m,i;
    int begin,end,power;
    int a,b;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        for(i=0; i<=n; i++)
        {
            q[i].clear();///将victor数组清空
        }
        for(i=0; i<m; i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&begin,&end,&power);///输入
            t.end=end;
            t.power=power;
            q[begin].push_back(t);
            t.end=begin;///无向图
            t.power=power;
            q[end].push_back(t);
        }
        scanf("%d%d",&a,&b);///输入起点与终点
        Dijkstra(a,b);
    }
    return 0;
}
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