试题 算法训练 麦森数

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问题描述
　　形如2P-1的素数称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即如果P是个素数，2P-1不一定也是素数。到1998年底，人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377，它有909526位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。
　　任务：从文件中输入P（1000<P<3100000），计算2P-1的位数和最后500位数字（用十进制高精度数表示）
输入格式
　　文件中只包含一个整数P（1000<P<3100000）
输出格式
　　第一行：十进制高精度数2P-1的位数。
　　第2-11行：十进制高精度数2P-1的最后500位数字。（每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0）
　　不必验证2P-1与P是否为素数。
样例输入
1279
样例输出
386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087

思路：本题难点为数量大运算可能会超时，这样位数和最后的值就比较难求，所以求位数可以用一个以10为底2的对数再加一，(int)((log10(n!))+1)也就是这个式子，原本是求n的阶乘的位数的，但是也可以求2的幂方的位数，变为：(int)((log10(2))*p+1)，p为幂次，底为2，这个公式由2 ^ p以10为底,变成 (int)((log10(2 ^ p))+1),p就得乘下来变成这个形式了(int)((log10(2))*p+1)，为什么要加一呢，一个三位数对10运算下来，实际会变成两位，所以得加一，而后500位的运算可以采用二分法和快速幂的做法来实现，在以前的文章中也写过两次了，所以这次直接上代码吧。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
void han(int a[501],int b[501]){
	int c[501],i,j,k,t,s=0;
	memset(c,0,sizeof(c));
	for(i=499;i>=0;i--){
		k=i;s=0;
		for(j=499;j>=0;j--){
			t=a[i]*b[j];
			c[k]=c[k]+t%10+s;  //高精度乘法比如31乘31，需要1乘31加3乘31，而3乘31的位数会高一位，把平时乘法思想用代码实现即可
			s=t/10+c[k]/10;
			c[k]=c[k]%10;	
			k--;
			if(k<0){
				break;
			}
		}
	}
	memcpy(a,c,sizeof(c));
}
int main(){
	int a[501],b[501],i,j,k,p;
	cin>>p;
	cout<<(int)((log10(2))*p+1)<<endl;
	memset(a,0,sizeof(a));
	memset(b,0,sizeof(b));
	a[499]=2;b[499]=1;
	while(p>0){
		if(p%2==1){
			han(b,a);
		}
		han(a,a);
		p/=2;
	}
	for(i=0;i<500;i++){
		if(i%50==0 && i>0){
			cout<<endl;
		}
		if(i==499){
			cout<<b[i]-1;  //2的幂次最后一位不会为零，所以不用判断
		} else{
			cout<<b[i];
		}
	}
}