题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

思路

1. 首先想到的解决方案是根据普通跳台阶题目改编，因为可以跳任意级，所以要加上前面台阶的所有可能，最后再加上可以一步跳上最后一阶的可能。

public class Solution { 
    public int JumpFloorII(int target) { 
        if (target == 1) 
            return 1; 
        if (target == 2) 
            return 2; 
        // sum用于保存前面所有台阶次数的和 
        int sum = 3; 
        int total = 0; 
        for (int i=3; i<=target; i++){ 
            // +1 的意思就是一步就跳上来 
            total = sum + 1; 
            sum += total; 
        } 
        return total; 
    } 
} 

1. 更进一步我们可以推导出该问题的通项公式

关于本题，前提是n个台阶会有一次n阶的跳法。分析如下: 
f(1) = 1 
f(2) = f(2-1) + f(2-2) //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的次数。 
f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3) 
… 
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + … + f(n-(n-1)) + f(n-n)

说明： 
1）这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,…n阶的 跳法数。 
2）n = 1时，只有1种跳法，f(1) = 1 
3) n = 2时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2) 
4) n = 3时，会有三种跳得方式，1阶、2阶、3阶， 
那么就是第一次跳出1阶后面剩下：f(3-1);第一次跳出2阶，剩下f(3-2)；第一次3阶，那么剩下f(3-3) 
因此结论是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3) 
5) n = n时，会有n中跳的方式，1阶、2阶…n阶，得出结论： 
f(n) = f(n-1)+f(n-2)+…+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-1)

6) 由以上已经是一种结论，但是为了简单，我们可以继续简化： 
f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + … + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2) 
f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1) 
可以得出： 
f(n) = 2*f(n-1)

7) 得出最终结论,在n阶台阶，一次有1、2、…n阶的跳的方式时，总得跳法为：

              | 1       ,(n=0 )  
f(n) =        | 1       ,(n=1 ) 
              | 2*f(n-1),(n>=2) 

  
所以可以写出如下代码：

public class Solution { 
    public int JumpFloorII(int target) { 
        if (target <= 0) { 
            return -1; 
        } else if (target == 1) { 
            return 1; 
        } else { 
            return 2 * JumpFloorII(target - 1); 
        } 
    } 
} 

  
3, 当然我们拒绝递归调用，因为递归会造成很多重复计算或是内存溢出风险

class Solution { 
public: 
    int jumpFloorII(int number) { 
        int jumpFlo=1; 
        while(--number) 
        { 
            jumpFlo*=2; 
        } 
        return jumpFlo; 
    } 
}; 

1. 还有什么地方可以优化呢？ 乘法是不是还可以用二进制位移操作优化呢！

public class Solution { 
    public int JumpFloorII(int target) { 
        if(target<=0) 
            return 0; 
        return 1<<(target-1); 
    } 
}