纪中集训-游戏

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(是纪中的题,不过我已经没有纪中的号了,于是翻出了我的古早博客
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题目解析

复习的时候又做了一遍,还是想了一会儿的,并且由衷地觉得这真是一道好题。

考虑\(SG\)函数递推。

由于每次操作只能动最后一行和最后一列,那么设\(sg(i,j)\)表示以\((i,j)\)结尾的矩阵的\(SG\)函数值。

转移有:\(sg(i,j)=mex\{sg(i-1,j),sg(i,j-1) \}\),不过转移的时候需要满足对应的这一行/列的和为偶数才能转移(和为偶数才能操作,也就是说这一列的和为偶数,\((i,j-1)\)才是后继状态,同理行也是这样)

初始的\(sg(0,0)=0\)(什么都没有了,不能操作了,对于先手来说是必败态


然后我们发现其实定义\(mex\)这个东西有点鸡肋,我们可以考虑改变\(sg\)的定义,设\(sg(i,j)\)表示以\((i,j)\)结尾的矩阵是对于当前操作者是必败态(为\(0\)),还是必胜态(为\(1\))。

转移的话,可转移的后继状态中,只要有一个必败态(\(sg=0\)),那么它就可以是必胜态(\(sg=1\))

边界情况:

\(sg(1,1)=a[1][1]\%2\)

然后是单独剩下的第一行和第一列,拿第一行举例子吧,第一列同理。对于只剩下第一行的情况,可以一次删掉右边最后一列,也可以删掉这一整行。如果删列的话,那么\(sg\)是从左边转移过来的,没有影响。如果是删掉一整行的话,只需要判断到当前这个位置的和是不是偶数,是偶数就是必胜态,但如果我们把\(sg[i-1][j]\)设为\(0\)的话,就不需要特判,可以自动转移。


►Code View

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
#define N 1005
#define LL long long
int rd()
{
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48); c=getchar();}
	return f*x;
}
int s1[N][N]/*行的前缀和*/,s2[N][N]/*列的前缀和*/,sg[N][N];
int main()
{
	int T=rd();
	while(T--)
	{
		int n=rd();
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=n;j++)
			{
				int a=rd()%2;
				s1[i][j]=(s1[i-1][j]+a)%2;
				s2[i][j]=(s2[i][j-1]+a)%2;
				sg[i][j]=0;
				if(!s1[i][j])//这一列可以删掉
					if(!sg[i][j-1]) 
						sg[i][j]=1;
				if(!s2[i][j])//这一行可以删掉
					if(!sg[i-1][j]) 
						sg[i][j]=1; 
			}
		if(sg[n][n]) puts("W");
		else puts("L");
	}
	return 0;
}
/*
2
2
2 4 
6 8
3
5 4 2
1 5 9
7 3 8
*/
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