K近邻法
1基本概念
K近邻法，是一种基本分类和回归规则。根据已有的训练数据集（含有标签），对于新的实例，根据其最近的k个近邻的类别，通过多数表决的方式进行预测。
2模型相关
2.1 距离的度量方式
定义距离
（1）欧式距离：p=2。
（2）曼哈顿距离：p=1。
（3）各坐标的最大值：p=∞。
2.2 K值的选择
通常使用交叉验证法来选取最优的k值。
k值大小的影响：
k越小，只有距该点较近的实例才会起作用，学习的近似误差会较小。但此时又会对这些近邻的实例很敏感，如果紧邻点存在噪声，预测就会出错，即学习的估计误差大，泛化能力不好。
K越大，距该点较远的实例也会起作用，造成近似误差增大，使预测发生错误。
2.3 k近邻法的实现：kd树
Kd树是二叉树。kd树是一种对K维空间中的实例点进行存储以便对其进行快速检索的树形数据结构.
Kd树是二叉树， 表示对K维空间的一个划分（ partition).构造Kd树相 当于不断地用垂直于坐标轴的超平面将k维空间切分， 构成一系列的k维超矩形区域.Kd树的每个结点对应于一个k维超矩形区域
其中，创建kd树时，垂直于坐标轴的超平面垂直的坐标轴选择是：
L=(J mod k)+1。其中，j为当前节点的节点深度，k为k维空间（给定实例点的k个维度）。根节点的节点深度为0.此公式可看为：依次循环实例点的k个维所对应的坐标轴。
Kd树的节点（分割点）为L维上所有实例点的中位数。
2.4 Kd树的实现
别处代码实现基于其他博客，但是纠正了其中的错误，能够返回前k个近邻。如果要求最近邻，只需要将k=1即可。
public class BinaryTreeOrder {
public void preOrder(Node root) {
if(root!= null){
System.out.print(root.toString());
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
}
}
public class kd_main {
public static void main(String[] args) {
List<Node> nodeList=new ArrayList<Node>();
nodeList.add(new Node(new double[]{5,4}));
nodeList.add(new Node(new double[]{9,6}));
nodeList.add(new Node(new double[]{8,1}));
nodeList.add(new Node(new double[]{7,2}));
nodeList.add(new Node(new double[]{2,3}));
nodeList.add(new Node(new double[]{4,7}));
nodeList.add(new Node(new double[]{4,3}));
nodeList.add(new Node(new double[]{1,3}));
kd_main kdTree=new kd_main();
Node root=kdTree.buildKDTree(nodeList,0);
new BinaryTreeOrder().preOrder(root);
for (Node node : nodeList) {
System.out.println(node.toString()+"-->"+node.left.toString()+"-->"+node.right.toString());
}
System.out.println(root);
System.out.println(kdTree.searchKNN(root,new Node(new double[]{2.1,3.1}),2));
System.out.println(kdTree.searchKNN(root,new Node(new double[]{2,4.5}),1));
System.out.println(kdTree.searchKNN(root,new Node(new double[]{2,4.5}),3));
System.out.println(kdTree.searchKNN(root,new Node(new double[]{6,1}),5));
}
/**
* 构建kd树 返回根节点
* @param nodeList
* @param index
* @return
*/
public Node buildKDTree(List<Node> nodeList,int index)
{
if(nodeList==null || nodeList.size()==0)
return null;
quickSortForMedian(nodeList,index,0,nodeList.size()-1);//中位数排序
Node root=nodeList.get(nodeList.size()/2);//中位数 当做根节点
root.dim=index;
List<Node> leftNodeList=new ArrayList<Node>();//放入左侧区域的节点 包括包含与中位数等值的节点-_-
List<Node> rightNodeList=new ArrayList<Node>();
for(Node node:nodeList)
{
if(root!=node)
{
if(node.getData(index)<=root.getData(index))
leftNodeList.add(node);//左子区域 包含与中位数等值的节点
else
rightNodeList.add(node);
}
}
//计算从哪一维度切分
int newIndex=index+1;//进入下一个维度
if(newIndex>=root.data.length)
newIndex=0;//从0维度开始再算
root.left=buildKDTree(leftNodeList,newIndex);//添加左右子区域
root.right=buildKDTree(rightNodeList,newIndex);
if(root.left!=null)
root.left.parent=root;//添加父指针
if(root.right!=null)
root.right.parent=root;//添加父指针
return root;
}
/**
* 查询最近邻
* @param root kd树
* @param q 查询点
* @param k
* @return
*/
public List<Node> searchKNN(Node root,Node q,int k)
{
List<Node> knnList=new ArrayList<Node>();
searchBrother(knnList,root,q,k);
return knnList;
}
/**
* searhchBrother
* @param knnList
* @param k
* @param q
*/
public void searchBrother(List<Node> knnList, Node root, Node q, int k) {
// Node almostNNode=root;//近似最近点
Node leafNNode=searchLeaf(root,q);
double curD=q.computeDistance(leafNNode);//最近近似点与查询点的距离 也就是球体的半径
leafNNode.distance=curD;
maintainMaxHeap(knnList,leafNNode,k);
System.out.println("leaf1"+leafNNode.getData(leafNNode.parent.dim));
while(leafNNode!=root)
{
if (getBrother(leafNNode)!=null) {
Node brother=getBrother(leafNNode);
System.out.println("brother1"+brother.getData(brother.parent.dim));
if(curD>Math.abs(q.getData(leafNNode.parent.dim)-leafNNode.parent.getData(leafNNode.parent.dim))||knnList.size()<k)
{
//这样可能在另一个子区域中存在更加近似的点
searchBrother(knnList,brother, q, k);
}
}
System.out.println("leaf2"+leafNNode.getData(leafNNode.parent.dim));
leafNNode=leafNNode.parent;//返回上一级
double rootD=q.computeDistance(leafNNode);//最近近似点与查询点的距离 也就是球体的半径
leafNNode.distance=rootD;
maintainMaxHeap(knnList,leafNNode,k);
}
}
/**
* 获取兄弟节点
* @param node
* @return
*/
public Node getBrother(Node node)
{
if(node==node.parent.left)
return node.parent.right;
else
return node.parent.left;
}
/**
* 查询到叶子节点
* @param root
* @param q
* @return
*/
public Node searchLeaf(Node root,Node q)
{
Node leaf=root,next=null;
int index=0;
while(leaf.left!=null || leaf.right!=null)
{
if(q.getData(index)<leaf.getData(index))
{
next=leaf.left;//进入左侧
}else if(q.getData(index)>leaf.getData(index))
{
next=leaf.right;
}else{
//当取到中位数时 判断左右子区域哪个更加近
if(q.computeDistance(leaf.left)<q.computeDistance(leaf.right))
next=leaf.left;
else
next=leaf.right;
}
if(next==null)
break;//下一个节点是空时 结束了
else{
leaf=next;
if(++index>=root.data.length)
index=0;
}
}
return leaf;
}
/**
* 维护一个k的最大堆
* @param listNode
* @param newNode
* @param k
*/
public void maintainMaxHeap(List<Node> listNode,Node newNode,int k)
{
if(listNode.size()<k)
{
maxHeapFixUp(listNode,newNode);//不足k个堆 直接向上修复
}else if(newNode.distance<listNode.get(0).distance){
//比堆顶的要小 还需要向下修复 覆盖堆顶
maxHeapFixDown(listNode,newNode);
}
}
/**
* 从上往下修复 将会覆盖第一个节点
* @param listNode
* @param newNode
*/
private void maxHeapFixDown(List<Node> listNode,Node newNode)
{
listNode.set(0, newNode);
int i=0;
int j=i*2+1;
while(j<listNode.size())
{
if(j+1<listNode.size() && listNode.get(j).distance<listNode.get(j+1).distance)
j++;//选出子结点中较大的点，第一个条件是要满足右子树不为空
if(listNode.get(i).distance>=listNode.get(j).distance)
break;
Node t=listNode.get(i);
listNode.set(i, listNode.get(j));
listNode.set(j, t);
i=j;
j=i*2+1;
}
}
private void maxHeapFixUp(List<Node> listNode,Node newNode)
{
listNode.add(newNode);
int j=listNode.size()-1;
int i=(j+1)/2-1;//i是j的parent节点
while(i>=0)
{
if(listNode.get(i).distance>=listNode.get(j).distance)
break;
Node t=listNode.get(i);
listNode.set(i, listNode.get(j));
listNode.set(j, t);
j=i;
i=(j+1)/2-1;
}
}
/**
* 使用快排进进行一个中位数的查找 完了之后返回的数组size/2即中位数
* @param nodeList
* @param index
* @param left
* @param right
*/
@Test
private void quickSortForMedian(List<Node> nodeList,int index,int left,int right)
{
if(left>=right || nodeList.size()<=0)
return ;
Node kn=nodeList.get(left);
double k=kn.getData(index);//取得向量指定索引的值
int i=left,j=right;
//控制每一次遍历的结束条件，i与j相遇
while(i<j)
{
//从右向左找一个小于i处值的值，并填入i的位置
while(nodeList.get(j).getData(index)>=k && i<j)
j--;
nodeList.set(i, nodeList.get(j));
//从左向右找一个大于i处值的值，并填入j的位置
while(nodeList.get(i).getData(index)<=k && i<j)
i++;
nodeList.set(j, nodeList.get(i));
}
nodeList.set(i, kn);
if(i==nodeList.size()/2)
return ;//完成中位数的排序了，但并不是完成了所有数的排序，这个终止条件只是保证中位数是正确的。去掉该条件，可以保证在递归的作用下，将所有的树
//将所有的数进行排序
else if(i<nodeList.size()/2)
{
quickSortForMedian(nodeList,index,i+1,right);//只需要排序右边就可以了
}else{
quickSortForMedian(nodeList,index,left,i-1);//只需要排序左边就可以了
}
// for (Node node : nodeList) {
// System.out.println(node.getData(index));
// }
}
}
public class Node implements Comparable<Node>{
public double[] data;//树上节点的数据 是一个多维的向量
public double distance;//与当前查询点的距离 初始化的时候是没有的
public Node left,right,parent;//左右子节点 以及父节点
public int dim=-1;//维度 建立树的时候判断的维度
public Node(double[] data)
{
this.data=data;
}
/**
* 返回指定索引上的数值
* @param index
* @return
*/
public double getData(int index)
{
if(data==null || data.length<=index)
return Integer.MIN_VALUE;
return data[index];
}
@Override
public int compareTo(Node o) {
if(this.distance>o.distance)
return 1;
else if(this.distance==o.distance)
return 0;
else return -1;
}
/**
* 计算距离 这里返回欧式距离
* @param that
* @return
*/
public double computeDistance(Node that)
{
if(this.data==null || that.data==null || this.data.length!=that.data.length)
return Double.MAX_VALUE;//出问题了 距离最远
double d=0;
for(int i=0;i<this.data.length;i++)
{
d+=Math.pow(this.data[i]-that.data[i], 2);
}
return Math.sqrt(d);
}
public String toString()
{
if(data==null || data.length==0)
return null;
StringBuilder sb=new StringBuilder();
for(int i=0;i<data.length;i++)
sb.append(data[i]+" ");
sb.append(" d:"+this.distance);
return sb.toString();
}
}
参考文献：
[1]李航.统计学习方法