I. Groups

在介绍向量空间之前有必要介绍一下什么Group，其定义如下：

注意定义中的\(\bigotimes\)不是乘法，而是一种运算符号的统一标识，可以是乘法也可以是加法等。

此外，如果\(\forall{x,y}∈\mathcal{G}:x⊗y=y⊗x\),那么此时\(G=(\mathcal{G,⊗})\)是Abelian Group(阿尔贝群)。

举个栗子：

• \((Z,+)\)是group
• \((N_0,+)\)不是group，因为他没有inverse elements，即不满足定义中的第4个条件。

II. Vector Spaces

向量空间定义：

Group和Vector Space的区别在于前者只是在针对\(\mathcal{G}\)和在\(\mathcal{G}\)上的inner operation进行研究和讨论，而后者在其基础上还考虑了outer operation，由定义可以直观地看出差别和关系。

II. Vector Subspaces

向量子空间定义：

那么我们如何证明一个向量空间是另一个向量空间的子空间呢？我们需要做如下证明：

有一个比较特殊的向量子空间是Trivial Subspace(平凡子空间)，其性质为任意空间的平凡子空间是它本身和\(\{0\}\)。