对于确定的$K$，问题也可以看作每一个点最多选$K$条出边，并最大化选择的边权和

关于这个问题，有如下的树形dp——

令$f_{k,0/1}$表示以$k$为根的子树中，根节点选择不超过$K/K-1$个儿子的最大边权和，转移为
$$
\begin{cases}f_{k,0}=\sum_{x\in son_{k}}f_{x,0}+\max_{S\subseteq son_{k},|S|\le K}\sum_{x\in S}(f_{x,1}+val_{k,x}-f_{x,0})\\f_{k,1}=\sum_{x\in son_{k}}f_{x,0}+\max_{S\subseteq son_{k},|S|<K}\sum_{x\in S}(f_{x,1}+val_{k,x}-f_{x,0})\end{cases}
$$
（其中$son_{k}$为$k$儿子的集合，$val_{x,y}$表示边$(x,y)$的边权）

对于后者，我们可以维护一个数据结构，支持加入一个元素和查询最大的$K$（或$K-1$）个元素之和

可以使用平衡树/权值线段树实现，单次复杂度为$o(\log n)$，总复杂度为$o(n\log n)$

记$deg_{k}$为节点$k$的度数，将所有边$(x,y)$分为三类：

1.$deg_{x},deg_{y}\le K$，这一类边一定可以选择，直接将$val_{(x,y)}$加入答案并删除

2.$deg_{x}\le K<deg_{y}$，这一类边实际上仅在$y$上有限制，我们可以在求$f_{y,0/1}$时的平衡树中先加入此边权即可

另外，为了维护，在dp结束后要删除$f_{x,1}+val_{k,x}-f_{x,0}$，如果直接在multiset中删除会导致节点个数

3.$deg_{x},deg_{y}>K$，这一类边用之前的dp即可

由此，每一次dp的节点数只有$deg_{k}>K$的节点，而$\sum_{K=0}^{n-1}\sum_{deg_{k}> K}1=o(n)$，总复杂度即$o(n\log n)$

（另外注意搜索时，$deg_{k}>K$的点的出边中要删除$deg_{k}\le K$的点，来保证复杂度）

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 100005
 4 #define ll long long
 5 #define pii pair<int,int>
 6 #define mid (l+r>>1)
 7 struct Edge{
 8     int nex,to,len;
 9 }edge[N<<1];
10 vector<pii>G[N];
11 vector<ll>ans,v[N];
12 int E,V,n,tmp,r[N],id[N],head[N],work[N],vis[N],rt[N],ls[N*100],rs[N*100],sz[N*100];
13 ll sum,f[N*100],dp[N][2];
14 bool cmp1(int x,int y){
15     return r[x]<r[y];
16 }
17 bool cmp2(pii x,pii y){
18     return r[x.first]>r[y.first];
19 }
20 void update(int &k,int l,int r,int x,int y){
21     if (!k)k=++V;
22     sz[k]+=y,f[k]+=x*y;
23     if (l==r)return;
24     if (x<=mid)update(ls[k],l,mid,x,y);
25     else update(rs[k],mid+1,r,x,y);
26 }
27 ll query(int k,int l,int r,int x){
28     if (l==r)return 1LL*min(x,sz[k])*l;
29     if (sz[rs[k]]>=x)return query(rs[k],mid+1,r,x);
30     return f[rs[k]]+query(ls[k],l,mid,x-sz[rs[k]]);
31 }
32 void add(int x,int y,int z){
33     edge[E].nex=head[x];
34     edge[E].to=y;
35     edge[E].len=z;
36     head[x]=E++;
37 }
38 void dfs(int k){
39     vis[k]=1;
40     dp[k][0]=dp[k][1]=0;
41     for(int &i=work[k];i!=-1;i=edge[i].nex)
42         if (r[edge[i].to]>tmp)break;
43     for(int i=work[k];i!=-1;i=edge[i].nex)
44         if (!vis[edge[i].to]){
45             dfs(edge[i].to);
46             dp[k][0]+=dp[edge[i].to][0];
47             ll s=dp[edge[i].to][1]+edge[i].len-dp[edge[i].to][0];
48             if (s>0){
49                 update(rt[k],1,1e9,s,1);
50                 v[k].push_back(s);
51             }
52         }
53     dp[k][1]=dp[k][0];
54     dp[k][0]+=query(rt[k],1,1e9,tmp);
55     dp[k][1]+=query(rt[k],1,1e9,tmp-1);
56     for(int i=0;i<v[k].size();i++)update(rt[k],1,1e9,v[k][i],-1);
57     v[k].clear();
58 }
59 vector<ll> minimum_closure_costs(int n,vector<int>u,vector<int>v,vector<int>w){
60     memset(head,-1,sizeof(head));
61     for(int i=0;i<=n-2;i++){
62         u[i]++,v[i]++;
63         G[u[i]].push_back(make_pair(v[i],w[i]));
64         G[v[i]].push_back(make_pair(u[i],w[i]));
65         sum+=w[i];
66     }
67     for(int i=1;i<=n;i++){
68         id[i]=i;
69         r[i]=G[i].size();
70     }
71     sort(id+1,id+n+1,cmp1);
72     for(int i=1;i<=n;i++){
73         sort(G[i].begin(),G[i].end(),cmp2);
74         for(int j=0;j<G[i].size();j++)add(i,G[i][j].first,G[i][j].second);
75     }
76     memcpy(work,head,sizeof(work));
77     ans.push_back(sum);
78     for(int i=1,j=1;i<n;i++){
79         while ((j<=n)&&(r[id[j]]<=i)){
80             for(int k=head[id[j]];k!=-1;k=edge[k].nex){
81                 if (vis[edge[k].to])sum-=edge[k].len;
82                 else update(rt[edge[k].to],1,1e9,edge[k].len,1);
83             }
84             vis[id[j++]]=1;
85         }
86         tmp=i;
87         ans.push_back(sum);
88         for(int k=j;k<=n;k++)
89             if (!vis[id[k]]){
90                 dfs(id[k]);
91                 ans[i]-=dp[id[k]][0];
92             }
93         for(int k=j;k<=n;k++)vis[id[k]]=0;
94     }
95     return ans;
96 }

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